Demostrar que una función no tiene una variación acotada.

Question

$V_a^b(P,f):=\sum_{i=1}^k|f(x_i)-f(x_{i-1})|$ , donde $P$ es una partición.

$$f(x)= \begin{cases} x^2\sin(\frac{1}{x^2}), &\text{if } x\neq0, \\ 0, &\text{if } x=0 \end{cases} $$ no tiene variación acotada sobre $[-1,1]$ . Estoy tratando de mostrar esto sin usar el hecho de que puede no tener variación acotada sobre algún subconjunto de $[-1,1]$ .

Quiero encontrar una partición $\lbrace x_0,\dotsc,x_n \rbrace$ de $[-1,1]$ para lo cual $$\sum_{i=1}^n|f(x_i)-f(x_{i-1})|$$ da una suma parcial de la Serie Armónica. Mi partición es $P=\lbrace -1,0,\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{2}+\pi n}},\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{2}+\pi(n-1)}},\dotsc,\frac{1}{\sqrt{\frac{\pi}{2}}},1\rbrace$ .

$$\begin{align} V_{-1} ^1(P,f) &=|f(0)-f(-1)| + \left|(f\Bigl(\frac1{\sqrt{\smash[b]{\frac\pi2}+\pi n}}\Bigr)-f(0)\right|+\left|f(1)-f\Bigl(\frac1{\sqrt{\smash[b]{\frac\pi2}}}\Bigr)\right| \\ &\mathrel{\phantom=} +\sum_{i=0}^{n}\left|f\Bigl(\frac1{\sqrt{\smash[b]{\frac\pi2}+\pi (n+1)}}\Bigr)-f\Bigl(\frac1{\sqrt{\smash[b]{\frac\pi2}+\pi n}}\Bigr)\right| \\ &= |f(0)-f(-1)|+\left|f\Bigl(\frac1{\sqrt{\smash[b]{\frac\pi2}+\pi n}}\Bigr)-f(0)\right| \\ &\mathrel{\phantom=}+\left|f(1)-f\Bigl(\frac1{\sqrt{\smash[b]{\frac\pi2}}}\Bigr)\right|+\sum_{i=0}^n\left(\frac1{\smash[b]{\frac\pi2}+\pi n}+\frac1{\smash[b]{\frac\pi2}+\pi (n-1)}\right). \end{align}$$

No sé qué hacer después con la suma. ¿Estoy en algo?

Answer 1

Creo que el problema es que su suma no es correcta. Debería ser $$ \begin{align} \sum_{k=0}^n\left(\frac1{\frac\pi2+\pi(k+1)}+\frac1{\frac\pi2+\pi k}\right) &=\frac2\pi+\frac2\pi\sum_{k=1}^n\frac1{k+\frac12}\\ &\ge\frac2\pi+\frac2\pi\sum_{k=1}^n\frac1{k+1}\\ &=\frac2\pi\sum_{k=1}^n\frac1k \end{align} $$