Problema con $\int_{0}^{1}(\sin^{-1}x)^ndx$ y $\int_{0}^{1}(\cos^{-1}x)^ndx$

Question

necesito tu ayuda en esto:

Deje $A _{n}=\int_{0}^{1}(\sin^{-1}x)^ndx$ e $B_{n} = \int_{0}^{1}(\cos^{-1}x)^ndx$ de números enteros no negativos n.

Demostrar que $A_{n} = \left ( \frac{\pi}{2} \right )^n - nB_{n-1}$ e $ B_{n} = nA_{n-1}$

Esto es lo que hice para $A_{n}$, pero es difícil para mí para seguir adelante.

$ A_{n} = \int_{0}^{1}(pecado^{-1}x)^ndx \\ ~~~~\>=\left [ x(pecado^{-1}x)^n) \right ]_{0}^{1} -n\int_{0}^{1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(\sin^{-1}x)^{n-1}dx \\ ~~~~\>= \left ( \frac{\pi}{2} \right )^n -n\int_{0}^{1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(\sin^{-1}x)^{n-1}dx $

Alguna idea?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ An: = \int {0} ^ {\frac {\pi} {2}} t ^ n\cos t dt\text {y} Bn: = \int {0} ^ {\frac {\pi} {2}} t ^ n\sin t dt. $$ Entonces, A_n $$ + iBn = \int {0} ^ {\frac {\pi} {2}} t ^ n e ^ {se} dt, $$ y proceder por inducción.

Answer 2

En primer lugar, $x=\sin(u)$ rinde $$ A_n = \int_0^1\left (\sin^ {-1} (x) \right) ^ n\mathrm {d} x = \int_0^ {\pi/2} u ^ n\cos (u) \,\mathrm {d} u $$ y $x=\cos(u)$ dan $$ B_n = \int_0^1\left (\cos^ {-1} (x) \right) ^ n\mathrm {d} x = \int_0^ {\pi/2} u ^ n\sin (u) \ , \mathrm{d}u $$ por lo tanto, integración por partes produce $$\begin{align} A_n+iB_n &=\int_0^{\pi/2}u^ne^{iu}\,\mathrm{d}u\ &=-iu^ne^{iu}{\Large]}_0^{\pi/2}+i\int0^{\pi/2}nu^{n-1}e^{iu}\,\mathrm{d}u\ &=\left(\frac\pi2\right)^n+in(A{n-1}+iB_{n-1}) \end {Alinee el} $$ equiparar las partes real e imaginarias.

Answer 3

Para evaluar $A_n$ usar la sustitución $x= \sin u$

Para evaluar $B_n$ usar la sustitución $x= \cos u$

Ahora es fácil hacer fórmulas de reducción para $u^n \cos u$ y $u^n \sin u$