Realización del grupo de homotopía.

Question

Estoy buscando información relativa a la siguiente pregunta:

Para que $n \in\mathbb{N}$ cada grupo $G$ se dio cuenta de como $\pi_n(X)$ espacio $X$?

He visto en Hatcher que $n=1$ es uno de esos casos. Me preguntaba si este resultado es cierto para los mayores $n$. He intentado una búsqueda en google, pero no me devuelve nada, quizás porque no me la frase de la pregunta de una manera óptima. Es allí cualquier información relativa a esta pregunta?

Answer 1

Para cada grupo abeliano$ G $ y$ n \geqslant 2 \; $ hay un espacio$ X=K(G,n)\; $ llamado espacio de Eilenberg-Mac Lane (consulte el índice del libro de Hatcher), tal que$ \pi_i(X,x)=0\; $ para$i \ne n \; $ y$\pi_n(X,x) \cong G \; $.

Answer 2

La respuesta corta es: $n=1$, siempre; $n>1$, exactamente al $G$ es abelian. Esto es necesario, ya que todos los mayores homotopy grupos abelian, y resulta ser suficiente por la siguiente construcción. Presente $G=\langle \Gamma,R\rangle$ con (posiblemente infinita) electrógenos $\Gamma$ y de las relaciones de $R$. Deje $X = \bigvee_\Gamma S^n$ y, a continuación, para cada relación $\in R$ pegamento en un $S^{n+1}$ según $r$. El resultado de CW-complejo ha $\pi_nX = G$.

Usted podría estar interesado en Eilenberg-Mac Lane espacios de $K(G,n)$. Estos son los espacios que han $\pi_n(X) = G$ y todos los demás homotopy grupos de cero.