Somos 3 Secuencia

Question

Considere la secuencia Somos 3$a_{n+3}a_n = a_{n+1}a_{n+2}$ con$a_1 = \alpha$,$a_2 = \beta$ y$a_3 = \gamma$ donde$\alpha$,$\beta$ y$\gamma$ son todos enteros.

(a) Pruebe diferentes valores de los datos iniciales para ver si genera secuencias de números enteros.

(b) A partir de su observación, formule las condiciones en$\alpha$,$\beta$ y$\gamma$ que garanticen que las secuencias generadas son enteros.

(c) Demuestra tu declaración formulada en (b).

Answer 1

No es demasiado difícil escribir un par de términos de la secuencia. Fijemos $a_1,\ a_2,\ a_3$. A continuación, la secuencia comienza $$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4=\frac{a_3a_2}{a_1},\ a_5=\frac{a_3^2}{a_1},\ a_6=\frac{a_3^2a_2}{a_1^2},\ a_7=\frac{a_3^3}{a_1^2},\ a_8=\frac{a_3^3a_2}{a_1^3},\ a_9=\frac{a_3^4}{a_1^3}$$ El patrón debe ser bastante claro. Yo se lo dejo a usted para comprobar que la secuencia continúa de la manera esperada. Una condición necesaria y suficiente es entonces $$\forall n\in\mathbb{N}:\ a_1^n\mid a_3^{n+1}\ \land\ a_1^n\mid a_3^na_2$$ Yo reclamo que $\forall n\in\mathbb{N}:\ a_1^n\mid a_3^{n+1}$ implica necesariamente a $a_1\mid a_3$. Para ver esto, supongamos lo contrario.

Claramente los factores primos de a $a_1$ es un subconjunto de a $a_3$'s. Por lo tanto, si $a_1\nmid a_3$ debe ser porque no es un primer factor que ocurren con mayor exponente en $a_1$$a_3$. Supongamos que $p$ es un primer con $p^k\|a_1$ $p^\ell\|a_3$ tal que $k > \ell$. Pero esto es absurdo, ya que $$a_1^n \mid a_3^{n+1} \implies p^{nk} \mid p^{(n+1)\ell} \implies nk < (n+1)\ell \implies \frac{k}{\ell} < 1 + \frac{1}{n}\ \ \forall n\in\mathbb{N}^+$$ El racional $\frac{k}{\ell}$ se apartó de$1$, mientras que la última secuencia converge hacia a $1$. Esto es claramente imposible.

Por lo tanto, es necesario y suficiente que $a_1\mid a_3$.

Answer 2

Considere la posibilidad de cualquier prime $p$ y denotan por $x_n$ el exponente con que $p$ está presente en $a_n$. La recursividad por la $a_n$ implica entonces $$x_{n+3} - x_{n+2}-x_{n+1}+x_n=0 \qquad(n\geq1)\ .\qquad(*)$$ El polinomio característico de esta diferencia ecuación es $$\chi(\lambda)=\lambda^3-\lambda^2-\lambda+1=(\lambda-1)^2(\lambda+1)\ .$$ Por lo tanto, la solución general de la $(*)$ es $$x_n=A \ n+B+ C(-1)^n\qquad (n\geq1)\ ,$$ por el cual los coeficientes $A$, $B$, $C$ tiene que ser determinado a partir de las condiciones iniciales.

Si queremos que la $a_n$ a ser enteros para todos los $n\geq1$, entonces los exponentes $x_1$, $x_2$, $x_3$ con que $p$ aparece en los valores iniciales $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ tiene que ser tal que $x_n\geq0$ está garantizado para todos los $n\geq 1$, y esto para cada prime $p$ de forma individual.

Answer 3

ps

Deje$$\frac{a_{n+3}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+2}}{a_{n}}$,$b_n=\frac{a_{n+2}}{a_{n}}$ $

ps

Asi que, $$b_{n+1}=b_n=\cdots=b_1=\frac{a_{3}}{a_{1}}=\frac {\gamma}{\alpha}$

Si$$\implies \frac{a_{n+2}}{a_{n}}=\frac {\gamma}{\alpha}$ es par,$a_{n+2}=\frac {\gamma}{\alpha}a_n=\cdots=\left(\frac {\gamma}{\alpha}\right)^{\frac{n+2-r}2} a_r$ (por ejemplo)$n$

Entonces,$=2m$ para hacer$a_{2m+2}=\left(\frac {\gamma}{\alpha}\right)^{\frac{2m+2-r}2} a_r=\left(\frac {\gamma}{\alpha}\right)^ma_2=\left(\frac {\gamma}{\alpha}\right)^m\beta$ entero.

Si$(\alpha)^m\mid (\gamma)^m\beta$ es impar,$a_{2m+2}$ (por ejemplo)$n$

Entonces,$=2m+1$ para hacer$a_{2m+3}=\left(\frac {\gamma}{\alpha}\right)^{\frac{2m+3-r}2} a_r=\left(\frac {\gamma}{\alpha}\right)^ma_3=\left(\frac {\gamma}{\alpha}\right)^m\gamma$ entero.

Combinar$(\alpha)^m\mid (\gamma)^{m+1}$ para mantener$a_{2m+3}$ entero para el entero$\alpha^m\mid (\gamma^{m+1},\gamma^m\beta)\iff\alpha^m\mid (\gamma^m(\beta,\gamma))$