Actualmente estoy estudiando los cuaterniones.
Entiendo que la I, la J y la K son números imaginativos. $i^2 = j^2 =k^2 = -1$ . Pero no podía entender esto: $$ \begin {matrix}ij=k,&ji=-k, \\jk =i,&kj=-i, \\ki =j,&ik=-j \end {matrix}$$
¿Por qué? Parece que no hay explicación de por qué es verdad. Me gustaría entender por qué es verdad en vez de asumir que es verdad.
¿Podría alguien proporcionarme algo de ayuda?
$i,j,k$ no son números imaginarios. Los números imaginarios surgen sólo cuando se habla del plano complejo $ \mathbb {C}$ que tiene una cartografía muy simple de uno a uno con el plano 2-D $ \mathbb {R}^2$ . Las cuaternarias surgen cuando se habla de tres dimensiones, es decir, buscando soluciones para $x^2+1 = 0$ en 3-D.
Si quieres obtener una imagen física, considera $i$ como la rotación de un vector o un segmento de línea en 3-D por $90^{ \circ }$ tomando el eje X como eje de rotación. De manera similar, $j,k$ corresponden a rotaciones sobre los ejes Y y Z respectivamente. Esto es similar al número imaginario $i$ que corresponde a una rotación en ángulo recto en el plano complejo. Ya que en 3-D hay más de un eje de rotación independiente posible, 3 para ser precisos, hay 3 cuaternarios.
Ahora, dos $90^{ \circ }$ las rotaciones sobre los ejes X, Y o Z tomarán el vector $ \mathbf {x}$ a su imagen de espejo $ \mathbf {(-x)}$ . S0, $i^2=j^2=k^2 =-1$ .
Una rotación en ángulo recto sobre $X$ seguido de una cantidad igual de rotación sobre Y corresponde a una rotación efectiva global de $90^{ \circ }$ sobre el eje Z. Así que.., $ij = k$ . Del mismo modo, se pueden verificar físicamente las leyes de multiplicación de los cuaterniones.
No intente pensar que su multiplicación es aritmética. Son composiciones de las operaciones de rotación. Si esto parece demasiado confuso, un poco de experiencia en la teoría de grupos le dará suficiente madurez matemática para sentirse cómodo con esto.
Las propiedades definitorias relacionadas con $i, j $ y $k$ son $$ i^2 = -1 \\ j^2 = -1 \\ k^2 = -1 \\ ijk = -1. $$ De estos se obtiene por ejemplo que $$ \begin {align} i(ijk) &= -i \Rightarrow \\ i^2jk &= -i \Rightarrow\\ jk &= i. \end {align} $$ De la misma manera puedes derivar las otras identidades.
Se pueden derivar las propiedades de los cuaternarios a través del álgebra de Clifford y el producto geométrico de los vectores.
El producto geométrico funciona así:
$$e_a e_b = \begin {cases} 1, & a = b \\ -e_b e_a, & a \neq b \end {cases}$$
donde $a, b$ puede ser $x$ , $y$ o $z$ como siempre. Esto captura tanto el trabajo del producto cruzado como el producto puntual en un producto de vectores base.
Entonces puede identificar
$$ \begin {align*} i &= -e_y e_z \\ j &= -e_z e_x \\ k &= -e_x e_y \end {align*}$$
Y entonces las propiedades de los cuaterniones siguen naturalmente.
$$i^2 = (-e_y e_z)(-e_y e_z) = (e_y e_z)(e_y e_z) = -e_y (e_z e_z) e_y = -e_y e_y = -1$$
Y de manera similar para $j^2$ y $k^2$ así como el $ijk$ producto:
$$ijk = (-e_y e_z)(-e_z e_x)(-e_x e_y) = - e_y e_z e_z e_x e_x e_y = -e_y (e_z e_z)(e_x e_x) e_y = -e_y e_y = -1$$
Esto te permite interpretar cuaterniones en un muy geométrico manera: el $i,j,k$ hacer no representan vectores, sino más bien planos orientados. Es sólo que en 3d cada plano tiene un único vector normal, por lo que a menudo abusamos de esta dualidad.
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