Sobre el lema de Schur

Question

En los módulos tenemos el siguiente resultado:

Si $M$ es un simple $R$ -módulo entonces $End_R M$ es un anillo de división.

Este teorema se conoce como lema de Schur y su demostración no es difícil.

Por lo general, en los cursos de licenciatura el único anillo de división que se menciona es el anillo de cuaterniones. El lema de Shur es una "máquina" para producir anillos de división pero nada me asegura que el anillo de división que obtenemos de un módulo simple no sea un campo.

Tengo la siguiente pregunta sobre este tema:

1. ¿Cómo calculo el $End_R M$ . Por ejemplo $End_\mathbb{Z} \mathbb{Z}$

2. ¿Existe un simple $R$ -Módulo $M$ tal que $End_R M \cong \mathbb{H}$ ¿el anillo de cuaterniones?

3. ¿Dónde puedo encontrar más ejemplos de anillos de división que no sean campos? ¿Existe algún anillo de división finito?

¡Muchas gracias!

Answer 1

1. En general, no hay un único método para calcular $End_R(M)$ . Se ha descubierto mucho sobre el tipo de anillo $End(M_R)$ se basa en las propiedades de $M$ pero no es algo sencillo que se pueda escribir en una sola proposición. Sin embargo, su ejemplo es fácil de calcular. $End(R_R)\cong R$ y en general $End(R^n_R)\cong M_n(R)$ para cualquier anillo $R$ .

2. A la luz de $1$ , $End(\Bbb H_\Bbb H)\cong \Bbb H$ .

3. a) Un buen lugar para empezar podría ser en Primer curso de anillos no conmutativos de T.Y. Lam, donde todo el capítulo 5 está dedicado a una introducción a los anillos de división. b) Los anillos de división finitos son campos por El pequeño teorema de Wedderburn .

Answer 2

Cuando $\mathbb{R}$ es el campo de los números reales, el grupo de cuaterniones $Q$ de orden $8$ tiene un $4$ -representación irreducible. Esto da lugar a una simple $4$ -Módulo de dimensiones $M$ para el anillo de grupo $R = \mathbb{R}G$ con ${\rm End}_{R}(M)$ siendo el anillo de cuaterniones reales.

En la teoría de la representación de grupos (finitos) una forma común de realizar módulos cuyos anillos de endomorfismo son álgebras de división no conmutativas es encontrar un grupo finito $G$ y un carácter irreducible complejo $\chi$ de $G$ tal que la representación que permite $\chi$ no puede realizarse sobre la extensión de $\mathbb{Q}$ generados por los valores de los caracteres de los elementos del grupo, pero algún múltiplo puede serlo. El $4$ -representación real del grupo de grupo de cuaterniones de orden $8$ es realmente (como representación compleja) una suma directa de dos copias de un $2$ -representación irreducible de ese grupo. Pero tal vez usted no ha visto todavía la teoría de la representación de grupos.