¿Tipos en Hatcher? $\mathbb{R}^n - \{x \} \cong S^{n-1} \times \mathbb{R}$ ?

Question

En la página 35 Hatcher escribe que $\mathbb{R}^n - \{x \}$ es homeomorfo a $ S^{n-1} \times \mathbb{R}$ . Sé, por ejemplo, que $\mathbb{R}^2 - \{x\}$ es equivalente en homotopía a $S^1$ y también a $S^1 \times \mathbb{R}$ . Sin embargo, no veo cómo son homeomórficos. ¿Es un error tipográfico? Gracias por su ayuda.

Answer 1

Después de una traducción podemos suponer $x = 0$ y considerar la función $f(\xi, t) = e^{t}\xi$ para $(\xi,t) \in S^{n-1} \times \mathbb{R}$ . Esto es obviamente una biyección y no es difícil demostrar que es un difeomorfismo.

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Más tarde:

Como ha señalado symbo'leon en la otra respuesta, puedes escribir la inversa explícitamente: Para $x \in \mathbb{R}^{n} \smallsetminus \{0\}$ poner $\varphi(x) = \left( \frac{x}{\|x\|},\, \log{\|x\|} \right)$ y comprobar que $f \circ \varphi = \operatorname{id}_{\mathbb{R}^{n} \smallsetminus \{x\}}$ y $\varphi \circ f = \operatorname{id}_{S^{n-1} \times \mathbb{R}}$ y que ambos mapas son suaves.

Answer 2

Un difeomorfismo explícito es: para $y\in\mathbb{R}^{n}\backslash\{x\}$ set

$$\varphi(y)=(\frac{y-x}{\left\Vert y-x\right\Vert },\ln\left\Vert y-x\right\Vert )$$