Martingalas: Expectativa de límite casi seguro

Question

Dejemos que $X_n, n\geq 0$ sea una martingala. Sabemos que $E[X_n]=E[X_m]$ para todos $m, n \geq 0$ . Además, supongamos que $X_n \rightarrow X$ P-a.s.

¿Qué sabemos sobre $E[X]$ ? ¿Está claro que $E[X]=E[X_0]$ ?

¿Y si $X_n$ ¿es un submartingale? ¿Está claro que $E[X] \geq E[X_0]$ ? ¿Y el resultado análogo para un supermartingale?

¿Y si la convergencia no es P-a.s. sino en $L^p$ para algunos $p \geq 1$ ?

Answer 1

$X := \lim X_n$ ¿verdad?

Bueno, queremos saber si $E[\lim X_n] = \lim E[X_n] (= \lim E[X_0] = E[X_0])$ .

En función de la $X_n$ Podemos o no tener $E[\lim X_n] = \lim E[X_n]$ .

Podríamos utilizar los Lemmas de Fatou para decir que

$$E[\liminf X_n] \le \liminf E[X_n] \le \limsup E[X_n] \le E[\limsup X_n] \to E[\lim X_n] = \lim E[X_n]$$

pero necesitamos el $X_n$ para satisfacer los supuestos de los lemas de Fatou

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Para un super/submercado, tenemos:

$$E[X] := E[\lim X_n] \stackrel{if}{=} \lim E[X_n] \le / \ge \lim E[X_0] = E[X_0]$$

Answer 2

Consideremos el producto-martingala $$X_n = \prod_{1\le m \le n}Y_m$$ con $Y$ , $Y_1$ , $Y_2$ , $\dots$ sean variables aleatorias i.i. no negativas y no degeneradas con media $1$ . Entonces puede demostrar que $\lim\limits_{n\to\infty}X_n = 0$ casi con toda seguridad (véase aquí ). Pero, obviamente $$E[X_n]=E\left[\prod_{1\le m \le n}Y_m\right]=\prod_{1\le m \le n}E[Y_m]=1$$ por la independencia de $Y_i$ para cualquier $n\in \mathbb N$ para que $$\lim_{n\to \infty}E[X_n]=1=E[X_1]\neq0=E[X]$$ Trivialmente $X_n$ es un submartingale (y un supermartingale), por lo que $E[X]=0\not\ge 1=E[X_1]$ incluso para los submartes. Ahora bien, si $$X_n\overset{\mathcal L^p}\longrightarrow X$$ (que es el caso, por ejemplo, si se aplica el teorema de convergencia de Martingala) entonces se sabe que $$\lim_{n\to \infty}E[|X_n|^r]=E[|X|^r]$$ para todos $1\le r\le p$ (esto es una implicación de dirección de $\mathcal L^p$ convergencia, véase aquí ).