¿Cuál es el exponente más pequeño para dar la identidad en$S_n$?

Question

<blockquote> <p>Que $S_n$ denotan el grupo simétrico en $n$ letras. Sabemos que $\tau^{n!} = e$ cualquier elemento $\tau \in S_n,$ donde $e$ denota el elemento de identidad. ¿Podemos encontrar un más pequeño entero positivo $m$ con esta propiedad? ¿Es decir, podemos encontrar un entero positivo $m < n!$ tal que $$\tau^m = e$$ for all $\tau \in S_n$?</p> </blockquote>

Answer 1

Sugerencia (hacer todos los pasos): es el orden de un ciclo de % de $k$$k$. Cualquier elemento de $S_n$ es un producto (por lo tanto, traslado) separado de los ciclos de longitud $\le n$. El orden de un producto de ciclos disjuntos es la l.c.m. de las longitudes de los ciclos individuales. El exponente más pequeño que funciona con todas las permutaciones en $S_n$ es l.c.m.{k\mid $$ 1

Answer 2

La respuesta es sí para $n \ge 4$. Cuando escribes una permutación $\tau$ como un producto de ciclos disjuntos, su período de $p$ es el lcm de las longitudes de los ciclos. Así que si divide a $2^k$ $p$, $\tau$ contiene un ciclo de $2^k$ y % tan $2^k \le n$. $n \ge 4$, $n! = 2^rs$ $s$ Dónde está impar y $2^r > n$, $p$ a dividir $m = 2^ks$, donde $k$ es el mayor entero tal que $2^k \le n$. Del mismo modo se pueden reducir a los exponentes de otros divisores primeros de $n!$ como $n$ es lo suficientemente grande

Answer 3

Usted no necesita realmente el grupo simétrico para hacer tal declaración (a pesar de que aquí debe corregir la $n$$n!$).

Considere G un grupo no trivial de la orden de $n$.

Ahora bien este grupo es cíclica, es decir que tiene un elemento de orden $n$) o no lo es. Si no es la respuesta a tu pregunta es trivialmente sí: hay al menos un elemento con el fin de $m \neq n$. Ahora supongamos que es un grupo cíclico, a continuación,$\langle g \rangle=G$. Consideremos ahora el caso de n no primo y digamos que $m$ divedes $n$: $mk=n \Leftrightarrow g^{mk}=e \Leftrightarrow (g^{m})^{k} = e$

Esto demuestra que $g^m$ orden $k < m$.