Sea H un subgrupo normal de G del índice 4 que muestre que hay exactamente 3 o exactamente 5 subgrupos de G que contienen H (incluidos G y H mismos)
¿De dónde partimos? No tengo ni idea.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sugerencia:$G/H$ es un grupo de orden$4$. Y solo hay dos de ellos hasta el isomorfismo:$C_4$ o$C_2 \times C_2$. El primero tiene$3$ subgrupos, el segundo$5$. Entonces, esto se reduce a clasificar todos los grupos de orden$4$. Si puede o no hacer eso, depende de su conocimiento de la teoría de grupos.
justartem
Puntos
13
El uso de la cuarta teorema de isomorfismo. Los grupos que contienen a $H$ están en correspondencia con los subgrupos de $G/H$.
Por lo tanto el número de subgrupos que contengan $H$ es igual al número de subgrupos de un grupo de $K$ orden $4$. sólo hay dos de estos grupos.
La primera es $\mathbb Z_4$ ha $3$ subgrupos (el número de subgrupos de un grupo cíclico de orden $n$ es igual a la cantidad de divisores de a $n$).
El segundo es $\mathbb Z_2 \times \mathbb Z_2$ e tiene $5$ subgrops ( el número de subgrupos de primaria abelian grupos con el primer $q$ es igual al número de subespacios cuando el grupo es visto como un espacio vectorial sobre $\mathbb Z_q$, estos pueden ser calculados en general mediante el uso de la $q$-los coeficientes binomiales)
En el caso en que la primaria abelian grupo es $\mathbb Z_q\times \mathbb Z_q$ (dimensión$2$) $\binom{2}{0}_q+\binom{2}{1}_q+\binom{2}{2}_q= 1+\frac{1-q^2}{1-q}+\frac{(1-q^2)(1-q)}{(1-q)(1-q^2)}=1+(1+q)+1=3+q$
Podemos resolver este problema, en general, para $p^2$ el uso de estas herramientas y estos resultados:
Cada grupo de orden $p^2$ es abelian (probar primero, demostrando que en cualquier grupo, si $G/Z(G)$ es cíclico, a continuación,$G=Z(G)$.
Un grupo abelian de orden $p^2$ $\mathbb Z_{p^2}$ o $\mathbb Z_p\times \mathbb Z_p$ ( para probar esto, usted podría simplemente invocar el teorema fundamental sobre finito abelian grupos o utilizar el conocido lema de que si $H$ $K$ son subgrupos normales de $G$ con trivial intersección, a continuación,$G\cong H\times K$)
Poner esto juntos a lo largo con los resultados anteriores de obtener que el resultado debe ser $3$ o $p+3$. (así que, en su caso $3$ o $5$ porque $p=2$)
