¿Cuáles son los conjuntos generales de condiciones en las que se mantiene la desigualdad,$E\left(\frac{X}{Y}\right) \geq 1$ para las rv positivas$X$ y$Y$?

Question

Actualmente estoy tratando de determinar qué tipo de condiciones generales que permitirá a la desigualdad, $E\left(\frac{X}{Y}\right) \geq 1$ a positivo r.v.'s$X$$Y$. Una condición es que se deje $X$ $Y$ ser intercambiables, es decir, la distribución conjunta de $(X,Y)$ es la misma que la distribución conjunta de $(Y,X)$. Sin embargo, he leído en un libro que una condición más general de intercambiabilidad, sostiene. La sugerencia fue determinar una concavidad de la función y el uso de la Desigualdad de Jensen. Una idea que yo tenía era definir la función de $g(x,y) = \frac{x}{y}$. Si esta función es convexa, entonces tenemos que: $$E\left(g(X,Y)\right) = E\left(\frac{X}{Y}\right) \geq g(E(X,Y)) = g(E(X), E(Y)) \geq \frac{E(X)}{E(Y)}$$ which then implies that the condition is the the means are equal. However, $g(x,y) = \frac{x}{y}$ no es convexo y no soy capaz de pensar en otro ejemplo de que funciona. Alguien tiene alguna idea de si me estoy acercando este problema correctamente?

Answer 1

La función$\phi\colon t\mapsto t+1/t$ es convexa en$(0,+\infty)$, ya que su segunda derivada es$2/t^3$. Consecuencia, al aplicar la desigualdad de Jensen a$X/Y$, obtenemos$$\phi\left(\mathbb E\left[\frac XY\right]\right)\leqslant \mathbb E\left[\frac XY+\frac YX\right].$ $ Ya que$\phi(t)\geqslant 2$ para cada$t\gt 0$, tenemos$$2\leqslant \mathbb E\left[\frac XY+\frac YX\right],$ $ por lo tanto, tenemos$\mathbb E\left[\frac XY\right]\geqslant 1$ #% siempre y cuando$$\mathbb E\left[\frac XY\right]\leqslant \mathbb E\left[\frac YX\right],$ $ que sea más débil que la intercambiabilidad.