Derivando una relación de recurrencia para derivados de$\frac{\arctan(x)}{x}$

Question

Yo estaba tratando de obtener una recurrencia relantionship para el cálculo de la $k$-ésima derivada de la función (con la esperanza de ningún error durante la copia)

$$ f(x) = \frac{\arctan(x)}{x} $$

El uso de arce he visto los siguientes derivados $$ \begin{array}{l} f^{(0)}(x) = \frac{\arctan(x)}{x} \\ f^{(1)}(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)x} - \frac{f(x)}{x} \\ f^{(2)}(x) = \frac{-2}{(x^2+1)^2} + \frac{-2}{(x^2 + 1)x^2} + \frac{2f(x)}{x^2} \\ f^{(3)}(x) = \frac{8}{(x^2+1)^3x^{-1}} + \frac{4}{(x^2+1)^2x} + \frac{6}{(x^2+1)x^3} - \frac{6f(x)}{x^3} \\ f^{(4)}(x) = \frac{-48}{(x^2+1)^4x^{-2}} + \frac{-8}{(x^2+1)^3} + \frac{-16}{(x^2+1)^2 x^2} + \frac{-24}{(x^2+1)x^4} + \frac{24 f(x)}{x^4} \\ f^{(5)}(x) = \frac{384}{(x^2+1)^5 x^{-3}} + \frac{-48}{(x^2+1)^4x^{-1}} + \frac{64}{(x^2+1)^3x} + \frac{80}{(x^2+1)^2x^3} + \frac{120}{(x^2+1)x^5} - \frac{120f(x)}{x^5} \end{array} $$

Esto me llevó a la siguiente expresión, como la suma, para la $k$-ésima derivada

$$ f^{(k)}(x) = \sum_{j=1}^k \frac{c_{j,k}}{(x^2+1)^jx^{k-2j+2}} + (-1)^k \frac{k! f(x)}{x^k} $$

En primer lugar, ¿está usted de acuerdo conmigo en que los coeficientes de $c_{j,k}$ totalmente describe el $k$-ésima derivada de $f$? Si no se puede señalar el error que cometí?

El siguiente paso me gustaría escribir $f^{(k+1)}$ en términos de los coeficientes $c_{j,k}$ a partir de allí yo debería ser capaz de derivar una relación de recurrencia para los coeficientes (como una tabla triangular que me permita derivar los coeficientes $c_{j,k}$ por $k$$j = 1 \ldots k$).

¿Crees que hay una forma más inteligente para lograr el mismo resultado? tal vez más fácil? los cálculos involucrados aquí son bastante desordenado.

Actualización : aquí está mi intento de

$$ f^{(k+1)}(x) = \sum_{j=1}^k c_{j,k}\left[ \frac{-2jx}{(x^2+1)^{j+1}x^{k-2j+2}} + \frac{k-2j+2}{(x^2+1)^jx^{k-2j+3}}\right] + \frac{(-1)^k {k!}}{(x^2+1)x^{k+1}} + (-1)^{k+1} {k(k+1)!} \frac{f(x)}{x^{k+1}} $$

Me quedé atrapado ahora...

Answer 1

$n\in\mathbb{N}$

Es$$\frac{d^n}{dx^n }\arctan x=\frac{d^n}{dx^n}(xf(x))=n\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1} }f(x)+ x\frac{d^n}{dx^n }f(x)$$ and for $ x> 0$ (and proofed by induction) one gets $$\frac{d^n}{dx^n }\arctan x=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{\sin(n \arctan\frac{1}{x})}{\sqrt{1+x^2}^n}$ $

De ello se deduce que la recursión para los derivados de$\displaystyle f(x):=\frac{\arctan x}{x}$ es
ps

Nota :

En lugar de$$\frac{d^n}{dx^n }f(x)=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{\sin(n \arctan\frac{1}{x})}{x\sqrt{1+x^2}^n}-\frac{n}{x} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}f(x)$ debería escribir$\arctan\frac{1}{x}$ arccot ​​(x) $\,$ (para que también podamos usar$\,$) pero no se declara aquí.

Pista :

Se puede encontrar una prueba, por ejemplo, en http://www.math.nthu.edu.tw/~amen/2010/090408-2.pdf con$x<0$.