Verdadero o falso: $f$ es inyectiva si y sólo si $f^*$ es sobreyectiva donde es correspondiente la retirada a $f^*$ $f$.

Question

Deje $f: X\rightarrow Y$ ser una de morfismos de afín variedades y $f^*: A(Y)\rightarrow A(X)$ el correspondiente homomorphism de las coordenadas de los anillos. La pregunta es si esto es verdadero o falso:

$f$ es inyectiva si y sólo si $f^*$ es surjective.

"Sólo si" es falsa. Aquí es un contraejemplo:

$$X=\mathbb{A^1}, Y=V(x^2-y^3)\\ f: X\rightarrow Y, t \rightarrow (t^3,t^2)\\ f^*: Un(Y)\rightarrow a(X), (\bar{x},\bar{y})\rightarrow (t^3,t^2)$$ En este ejemplo, $f$ es bijective, sino $f^*$ no es surjective, ya que no se asigna nada a $t$.

No puedo probar el "si" parte o la construcción de un contraejemplo. Gracias por la ayuda!

Answer 1

$f^\ast$ Es sobreyectiva y demostremos que $f$ es inyectiva. Sea $x_1,x_2\in X$ dos puntos con $y:=f(x_1)=f(x_2)$. Asumir que $x_1\ne x_2$, entonces hay una función (la restricción de alguna función coordenada, dicen) $\varphi\in A(X)$ $\varphi(x_1)\ne\varphi(x_2)$. Sin embargo, $f^\ast$ es sobreyectiva, por lo que es un $\psi\in A(Y)$ $f^\ast(\psi)=\varphi$. Esto implica $$\psi(y)=\psi(f(x_1))=f^\ast(\psi)(x_1)=\varphi(x_1)\ne\varphi(x_2)=f^\ast(\psi)(x_2)=\psi(f(x_2))=\psi(y),$ $, que es una contradicción flagrante. Que han tenido $x_1=x_2$.