Prueba de límite en $\int t\,f(t)\ dt$ dado % bien-comportado $f$

Question

Tengo la siguiente pregunta por correo de alguien que no conozco de Adán. (Citado en parte).

Si $f(t)$ continuamente diff $[0,1]$ y

a) $\int_0^1f(t)\ dt=0$

b) $m\le f\,'\le M$ on $[0,1]$

Probar

$\frac m{12}\le\int_0^1t\cdot f(t)\ dt\le\frac M{12}$

Sospecho que podría ser un error

Supuse inmediatamente que es un error, pero mis dos primeros pensamientos como contraejemplos eran $f(t)=\frac12-t$ y $f(t)=\sin(2\pi t)$, que satisfacen el resultado. ¿Cualquier persona con una prueba o un contraejemplo?

Answer 1

Edit:se Incorpora la simplificación y el acortamiento de los argumento sugerido por Didier. Gracias!

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A) sabemos que $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(x)\,dx = 0$. Por lo tanto \begin{align*} \int_{0}^{1} xf(x)\,dx & = \int_{0}^{1} \left(x - \frac{1}{2}\right)f(x)\,dx \\ & = \left. \frac{1}{2}(x^{2} - x) f(x)\right\vert_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{2}(x^{2} - x)f'(x)\,dx \\ & = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x - x^{2})f'(x)\,dx \end{align*} usando integración por partes.

Ahora tenga en cuenta que$x - x^{2} \geq 0$$[0,1]$, y en b) tenemos $m \leq f'(x) \leq M$, por lo tanto $$ C m \leq \int_{0}^{1} x f(x)\,dx \leq C M $$ con $$ C = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (x - x^{2})\,dx = \left.\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{3}x^{3}\right)\right\vert_{0}^{1} = \frac{1}{12} $$ como queríamos.

Permítanme añadir que estas estimaciones surgir en el método de la sumación de Euler y se utilizan a menudo en las pruebas de la fórmula de Stirling.

Answer 2

Supongo que la respuesta viene de integrar $t\cdot f(t)$ por las partes; $\int t\cdot f(t)dt = (t\cdot \int_0^t f(x) dx)|_0^1 - \int_0^1(\int_0^t f(x)dx)dt$, y desde el primer término se evalúa como $0$ (es el valor en $0$ $0$ por el factor de $t$ y el valor en $1$ es $0$ porque $\int_0^1 f(x) dx = 0$) simplifica a $-\int_0^1(\int_0^t f(x)dx)dt$; ahora, esto es $0$ en ambos extremos del intervalo de $t$, y así que debe haber formas relativamente simples de lo delimitador.