Cálculo de la homología mediante Mayer-Vietoris

Question

(Este es el ejercicio 2.2.28 de Hatcher) Considere el espacio obtenido de un toroide $T^2$ colocando una banda de Mobius $M$ mediante un homeomorfismo del círculo límite de la banda de Mobius al círculo $S^1\times \{x_0\} \subset T^2$ .

Hemos establecido $A=T^2$ , $B=M$ , $X:=A\cup B $ , $A\cap B\simeq S^1$ por lo que la secuencia (reducida) de Mayer-Vietoris da como resultado

$$ 0\to \tilde H_2(T^2)\oplus\tilde H_2(M)\to \tilde H_2(X)\to \tilde H_1(S^1)\to \tilde H_1(T^2)\oplus \tilde H_1(M)\to \tilde H_1(X) \to 0$$ y sustituyendo los grupos de homología que ya conocemos tenemos $$0\to \mathbb Z\overset{\alpha}{\to} \tilde H_2(X) \overset{\beta}{\to} \mathbb Z \overset{\gamma}{\to} \mathbb Z^2\oplus \mathbb Z\overset{\delta}{\to} \tilde H_1(X)\to 0$$

Ahora, tengo que averiguar cuáles son los mapas $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ hacer, y aquí es donde estoy atascado. Agradecería una explicación detallada.

Answer 1

El mapa $\gamma$ es $(i_*, j_*)$ donde $i : S^1 \hookrightarrow T^2$ , $j : S^1\hookrightarrow M$ . Desde $i_*$ mapea el generador de $H_1(S^1)$ a un generador de $H_1(T^2)$ y $j_*$ mapea el generador de $S^1$ al doble del generador de $H_1(M)$ encontramos que $\gamma(1) = ((1, 0), 2)$ . De la exactitud de la secuencia, $$ H_1(X) \cong H_1(T^2) \oplus H_1(M) / \operatorname{im} \gamma \cong \langle x, y, z \mid x + 2z\rangle_{ab}. $$

Desde $x = -2z$ en la presentación, podemos eliminar $x$ para conseguir $$ H_1(X) \cong \langle y, z \rangle_{ab} \cong \Bbb Z \oplus \Bbb Z. $$

Desde $\operatorname{im} \beta = \ker \gamma = 0$ se deduce que $H_2(X) = \Bbb Z$ .

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Cabe destacar que $A$ , $B$ debe estar abierto al aplicar el MVS. $T^2$ y $M$ no están abiertos en $X$ pero esto es fácil de arreglar: Sólo hay que tomar una vecindad abierta que la deformación retrae en cada subespacio.