4-variedad: $0$-mango $\cup$ $2$% maneja a lo largo de un enlace enmarcado en $S^3$ (forma de intersección = matriz de vinculación = matriz de presentación de $H_1(\partial M)$)

Question

Deje $L$ ser un enmarcada enlace en $S^3$, que consta de cuadros de nudos $L_1,\ldots,L_m$. Deje $A=[a_{ij}]\in\mathbb{Z}^{m\times m}$ ser su vinculación de la matriz, con $a_{ii}=$ elaboración de $L_i$ $a_{ij}=$ vinculación de número de $L_i$$L_j$.

Deje $M$ $4$- colector, obtenido como una manija de la descomposición con un $0$-manejar $B^4$, y para cada enmarcada nudo $L_i\subseteq S^3=\partial B^4$ $2$- manejar $B^2\times B^2$ pegados a lo largo del marco $S^1\times B^2\approx L_i$.

Cómo puedo probar que $A$ = intersección en forma de $M$ = presentación de la matriz de $H_1(\partial M)$?

Aquí la intersección en forma de $M$ se define como sigue: $H_2M$ es supuestamente (no sé por qué) isomorfo a $\mathbb{Z}^m$ y el generado por las inmersiones $f_i:kT^2\hookrightarrow M$ donde $kT^2$ está conectado suma de $k$-copias de las $2$-torus $S^1\times S^1$, y luego el $ij$-ésima de la intersección que se forma es la intersección de número de $f_i(kT^2)$ $f_j(lT^2)$ , es decir, $\sum_{p\in f_i(kT^2)\cap f_j(lT^2)}\varepsilon(p)$ donde $\varepsilon(p)=\pm1$, dependiendo de cuál es la orientación de las superficies de $f_i(kT^2)$ $f_j(lT^2)$ inducir en $M$.

Ni siquiera puedo visualizar la situación al $L$ es sólo un nudo con su encuadre $n$-a veces retorcido, es decir, $M$ $B^4$ $B^2\times B^2$ adjunta a lo largo de $L\subseteq S^3$. Lo $3$-colector es $\partial M$? $S^3$ con $S^1\times B^2$ corte y $B^2\times S^1$ pegado en con $n$-torsión? No se puede visualizar que...

Answer 1

El siguiente es el contenido de León comentarios de arriba, que dan una respuesta completa a esta pregunta.

Un esbozo de la prueba para la primera igualdad se da en 4-Variedades y Kirby Cálculo, Gompf, Stipsicz, 1999 AMS GSM 20, página 125, la Proposición 4.5.11. La última pregunta: si cortamos el unknot $S^1\times B^2$ = engrosamiento de la z-eje de $S^3=\mathbb{R}^3\cup\{\infty\}$, obtenemos $B^2\times S^1$, lo $1$-cirugía con n-enmarcado en $S^3$ es en realidad el encolado de dos sólidos tori a lo largo de su frontera a través de un n-twist homeomorphism, que por Watkins produce la Lente espacio de $L(1,n)$. La segunda igualdad es la Proposición 5.3.11 y Corolario 5.3.12.