Evaluar esta suma: $ \sum_{q=0}^{2n} \binom{p+l-q}{p} \binom{2n}{q}$

Question

En medio de un cálculo, me encontré con la siguiente suma. Me gustaría encontrar una forma para que sea más explícito, aunque no he entendido nada todavía. Aquí está:

Deje $p,l$ $n$ ser enteros positivos con $p+l\geq 2n$. A continuación, me gustaría evaluar: $$ \sum\limits_{q=0}^{2n}\begin{pmatrix}p+l-q\\p\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2n\\q\end{pmatrix} $$ Todas las ideas/sugerencias/ideas? Gracias!

Answer 1

Al menos para algunos valores que podemos obtener un cerrado de expresión. En el siguiente utilizamos el coeficiente de operador $[z^p]$ para denotar el coeficiente de $z^p$ en una serie. De esta manera podemos escribir por ejemplo \begin{align*} [z^p](1+z)^q=\binom{q}{p} \end{align*}

Caso especial: $p+l=2n$

Desde $p+l\geq 2n$ nos fijamos en primer lugar en $p+l=2n$ y mostrar \begin{align*} \sum_{q=0}^{2n}\binom{2n-q}{p}\binom{2n}{q}=\binom{2n}{p}2^{2n-p}\qquad\qquad\qquad n,p\geq 0 \end{align*}

Obtenemos \begin{align*} \sum_{q=0}^{2n}\binom{2n-q}{p}\binom{2n}{q} &=\sum_{q=0}^\infty[u^p](1+u)^{2n-q}[z^q](1+z)^{2n}\tag{1}\\ &=[u^p](1+u)^{2n}\sum_{q=0}^\infty\left(\frac{1}{1+u}\right)^{-q}[z^q](1+z)^{2n}\tag{2}\\ &=[u^p](1+u)^{2n}\left(1+\frac{1}{1+u}\right)^{2n}\tag{3}\\ &=[u^p](2+u)^{2n}\tag{4}\\ &=\binom{2n}{p}2^{2n-p} \end{align*} y el reclamo de la siguiente manera.

Comentario:

• En (1) se aplica el coeficiente de operador y ampliar el límite superior de a $\infty$ sin cambiar nada, ya que estamos añadiendo ceros sólo.

• En (2) utilizamos la linealidad del coeficiente de operador.

• En (3) se aplica la norma de sustitución del coeficiente de operador con $z=\frac{1}{1+u}$. \begin{align*} A(u)=\sum_{q=0}^\infty a_q u^q=\sum_{q=0}^\infty u^q[z^q]A(z) \end{align*}

• En (4) vamos a hacer algunas simplificaciones y seleccionar el coeficiente de $u^p$.

Caso especial: $p+l=2n+1$

Podemos hacer el cálculo de forma similar a como anteriormente y obtener \begin{align*} \sum_{q=0}^{2n}\binom{2n+1-q}{p}\binom{2n}{q} &=[u^p](1+u)(2+u)^{2n}\tag{5}\\ &=\left([u^p]+[u^{p-1}]\right)(2+u)^{2n}\tag{6}\\ &=\binom{2n}{p}2^{2n-p}+\binom{2n}{p-1}2^{2n-p+1}\tag{7} \end{align*}

Comentario:

• En (5) vemos que el paso correspondiente para el cálculo, como hicimos en (4), con un factor adicional $\color{blue}{(1+u)^1}$ correspondiente a $p+l=2n\color{blue}{+1}$.

• En (6) usamos de nuevo la linealidad del coeficiente de operador y aplicar la regla de $[u^{p}]u^qA(u)=[u^{p-q}]A(u)$.

• En (7) seleccionamos el coeficiente de $u^p$$u^{p-1}$.

Consideramos ahora el caso general $p+l\geq 2n$.

Caso General: $p+l=2n+m\geq 2n\qquad \qquad(m\geq 0)$

Podemos utilizar el mismo método anterior y obtener \begin{align*} \sum_{q=0}^{2n}\binom{2n+m-q}{p}\binom{2n}{q} &=\sum_{q=0}^\infty[u^p](1+u)^{2n+m-q}[z^q](1+z)^{2n}\\ &=[u^p](1+u)^m(2+u)^{2n}\\ &=[u^p]\sum_{j=0}^{m}\binom{m}{j}u^j(2+u)^{2n}\\ &=\sum_{j=0}^{\min\{m,p\}}\binom{m}{j}[u^{p-j}](2+u)^{2n}\\ &=\sum_{j=0}^{\min\{m,p\}}\binom{m}{j}\binom{2n}{m-j}2^{2n-m+j} \end{align*}

Tomamos nota de que el general de los casos que lamentablemente no proporcionar una simplificación.

Answer 2

La solución a esto implica una función hipergeométrica (específicamente el de Gauss):

$$S=\binom{l+p}{p}{}_2F_1\left(-l,-2n;-l-p;-1 \right).$$

Hay un montón de fórmulas de transformación (por ejemplo aquí y aquí), pero dudo de que usted será capaz de reducir a la primaria función.

Por Eq. (15.2.4) en el segundo enlace, podemos escribir

$$S=\binom{l+p}{p}\sum_{k=0}^l \binom{l}{k}\frac{(-2n)_k}{(-l-p)_k},$$

donde Pochhammer se han utilizado los símbolos (nota de la observación después de la fórmula, sin embargo).