Derivado de $ f(x) = \sum^{\infty}_{n=0} -(\frac{(4n-7)x^n}{6n+7})$

Question

Considere la posibilidad de $$f(x) = \sum^{\infty}_{n=0} -\left(\frac{(4n-7)x^n}{6n+7}\right)$$.

Encontrar $ f'(x).$ simplemente tomé la derivada que pensé es $$\sum^{\infty}_{n=0} -\left(\frac{(4n^2-7n)x^{n-1}}{6n+7}\right)$$

La respuesta dice: "Esta es una muy sutil error. Se han incluido las $n=0$ plazo, pero debe de haber quitado y luego vuelvan a indexar.

La respuesta correcta que dicen es: $$ \sum^{\infty}_{n=0} -\left(\frac{(4n^2+n-3)x^n}{6n+13}\right)$$

No entiendo lo que me hizo mal y lo que quería de mí?

Answer 1

Nota simplemente que

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{n(4n-7)}{6n+7}\,x^{n-1}=\sum_{n=1}^\infty \frac{n(4n-7)}{6n+7}\,x^{n-1}\tag 1$$

desde el primer plazo (es decir, $n=0$) de la serie en el lado izquierdo de $(1)$$0$.

Ahora hacer cumplir la sustitución de $n\to n+1$ en la serie en el lado derecho de la $(1)$ rendimientos

$$\sum_{n=0}^\infty \frac{n(4-7)}{6n+7}\,x^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(n+1)(4(n+1)-7)}{6(n+1)+7}\,x^{n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{4n^2+n-3}{6n+13}\,x^{n}$$