funciones aritméticas con $ 1/ \phi(n)$

Question

tengo que encontrar una función $f(n)$ tal que % $ $$1/\phi(n)= \sum_{d\mid n} \frac{1}{d} f(\frac{n}{d}). $

Sin embargo, sabemos que: $$ \phi(n)= \mu* \operatorname{Id}(n) $ $ $$ \phi(n)= \sum_{d\mid n}\frac{n}{d}\mu(d) $ $ tengo la sensación que necesito para usar estas ecuaciones pero no estoy seguro cómo.

Answer 1

Definir el $g(n)=nf(n)$ a continuación:

$$n/\phi(n)=\sum{d\mid n} g\left(\frac nd\right)=\sum{d\mid n} g(d)$$

¿Qué es $g(n)$?

Answer 2

Completar Thomas Andrews's respuesta. $$ \frac{n}{\phi(n)} = \sum_{d|n}\frac{n}{d}f\left(\frac n d \right) =\sum_{d|n}d \, f(d). \qquad (1) $$ La inversión de la tabla en esta página (el 9 de ecuación a partir de la parte superior de la sección): $$ d \, f(d) = \frac{ \mu^2(d) }{ \phi(d) }. $$ La prueba se puede encontrar en las páginas 8-10 en Dineva.

Así $$ f(n) = \frac{ \mu^2(n) }{ n \, \phi(n) }. $$

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Edit. No hay engaño solución de bajo Thomas Andrews's de la instrucción.

Invirtiendo (1), obtenemos

$$ n f(n) = \sum_{d|n} \frac{d}{\phi(d)} \mu\left( \frac{n}{d} \right). $$

Esta función es multiplicativo, ya que es el Dirichlet convolución de dos funciones multiplicativas. Por lo tanto sólo tenemos que calcular el valor de una potencia principal $$ \begin{aligned} 1 f(1) &= 1, \\ p f(p) &= 1 \cdot (-1) + \frac{1}{1-1/p} 1 = \frac{1}{p-1} = \frac{1}{\phi(p)}, \\ p^e f(p^e) &= \frac{1}{1-1/p} \cdot (-1) + \frac{1}{1-1/p} 1 = 0. \qquad (e \ge 2) \end{aligned} $$ Así $$ p^e f(p^e) = \frac{ \mu^2(p^e) } { \phi(p^e) }. $$ Multiplicando todos los factores primos, obtenemos $$ n f(n) = \frac{ \mu^2(n) } { \phi(n) }. $$

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Gracias de nuevo a J. M. de la pregunta interesante, y Thomas Andrews's la paciencia.

Feliz día de acción de gracias. :-)