Sobre la localización de una UFD

Question

Me preguntaba, ¿es la localización de una UFD también una UFD?

¿Cómo uno haría probar esto? Parece que sería tipo de sucio probar si es verdad.

Si no es cierto, ¿qué pasa con la localización en un privilegiado? O ¿qué pasa si la UFD es noetheriano?

Answer 1

La localización de una unidad flash usb es un dispositivo flash usb siempre que no invierta $0$.

Supongamos $D$ es un UFD, y deje $S$ ser un subconjunto multiplicativo de que no contenga $0$. Deje $T$ ser el conjunto de todos los irreducibles que dividir un elemento de $S$, y deje $M$ ser el conjunto de todos los irreducibles no en $T$.

La reclamación. $p\in T$ si y sólo si la imagen de $p$ $S^{-1}D$ es una unidad.

De hecho, si $p\in T$, entonces no existe $s\in S$ tal que $p|s$; deje $x\in D$$px=s$. A continuación, $$\frac{ps}{s}\cdot\frac{x}{s} = \frac{pxs}{ss} = \frac{ss}{ss} = 1_{S^{-1}D},$$ así que la imagen de $p$ $S^{-1}D$ es una unidad. Por el contrario, si la imagen de $p$ es una unidad, entonces no existe $t\in S$ $x\in D$ tal que $\frac{ps}{s}\cdot\frac{x}{t} = 1_{S^{-1}D}$,$\frac{pxs}{st}=\frac{s}{s}$, por lo tanto $pxs^2 = s^2t$, por lo tanto $px=t \in S$, lo $p\in T$, ya que el $p$ divide un elemento de $S$. $\Box$

La reclamación. Si $p\in M$, entonces la imagen de a $p$ $S^{-1}D$ es irreductible.

En efecto, supongamos que $\frac{ps}{s} = \frac{x}{t}\frac{y}{t'} = \frac{xy}{tt'}$. A continuación,$pstt' = xys$. Desde $p$ no dividir cualquier elemento de $S$, e $D$ es un UFD, un asociado de $p$ aparece exactamente una vez en la factorización de $xys$ en irreducibles, y se debe dividir cualquiera de las $x$ o $y$, pero no tanto, y todos los demás irreducibles que aparecen en la factorización de $xys$ debe estar en $T$. Por lo tanto, cualquiera de las $\frac{x}{t}$ es una unidad, o $\frac{y}{t'}$ es una unidad. Por lo $\frac{ps}{s}$ es irreducible (no es $0$ o de una unidad por la reivindicación anterior).

Desde $S^{-1}D$ puede ser incrustado en el campo de la fracción de $D$, se deduce que el $S^{-1}D$ es un dominio. Deje $\frac{a}{s}\in S^{-1}D$; vamos a $$a = up_1^{b_1}\cdots p_r^{b_r}q_1^{c_1}\cdots q_t^{c_t}$$ ser una factorización de $a$ $D$ donde $u$ es una unidad de $D$, $p_1,\ldots,p_r\in T$, y $q_1,\ldots,q_t\in M$. Para una fija $s\in S$, tenemos $$\frac{a}{s} = \frac{u}{s}\left(\frac{p_1s}{s}\right)^{b_1}\cdots\left(\frac{p_rs}{s}\right)^{b_r}\left(\frac{q_1s}{s}\right)^{c_1}\cdots\left(\frac{q_ts}{s}\right)^{c_t}$$ es una factorización de $\frac{a}{s}$ en una unidad de veces un producto de irreducibles (es decir, las imágenes de $q_i$$S^{-1}D$).

Compruebe la unicidad de seguridad de las unidades, de la cruz se multiplican y el uso exclusivo de la factorización en $D$ y las afirmaciones anteriores.

Answer 2

Una mancha manera es a través de Kaplansky de la caracterización: un dominio es un UFD iff cada distinto de cero el primer ideal contiene un valor distinto de cero prime. Esto puede verse fácilmente a ser preservado por localización, por lo tanto la prueba. Como alternativa, vaya directamente al mostrar que los números primos estancia privilegiada en la localización, si sobreviven (no se convierten en unidades). Por lo tanto UFD localizaciones se caracteriza por el conjunto de los números primos que sobrevivir.

Lo contrario también es cierto para atómica dominios, es decir, los dominios donde cero nonunits factor en átomos (irreducibles). Es decir, si $\rm\:D\:$ es atómico de dominio y $\rm\:S\:$ es saturada submonoid de $\rm\:D^*$ generado por los números primos, a continuación, $\rm\: D_S$ UFD $\rm\:\Rightarrow\:D$ UFD $\:\!$ (.k.una. Nagata del Lema). Esto produce una mancha de la prueba de $\rm\:D$ UFD $\rm\Rightarrow D[x]$ UFD, viz. $\rm\:S = D^*\:$ es generado por los números primos, por lo que la localización de los rendimientos de la UFD $\rm\:F[x],\:$ $\rm\:F =\,$ fracción de campo de $\rm\:D.\:$ $\rm\:D[x]\:$ es un UFD, por Nagata del Lexema. Esto le da un carácter más conceptual, más visión estructural de la esencia de la materia (vs tradicional argumento de Gauss Lema).

Answer 3

Como lo que yo puedo decir, la localización de una unidad flash usb es siempre una unidad flash usb. Deje $R$ ser un UFD y $S \subseteq R$ multiplicatively cerrado.

Un anillo es un UFD si y sólo si cada una de las alturas 1 primer ideal es principal. Por lo tanto, vamos a $P$ ser una altura de 1 primer ideal de $S^{-1}R$. Entonces no es un buen ideal $I \lhd R$ tal que $P = S^{-1}I$. Ahora, la localización no cambia la altura, por lo $I$ tiene altura 1, por lo tanto es director como $R$ es un UFD, decir $I = \langle a \rangle$. A continuación,$P = S^{-1}I = S^{-1}\langle a \rangle = \langle \frac{a}{1} \rangle$, lo $P$ es la directora. Por lo tanto, toda la altura 1 primer ideales de $S^{-1}R$ son principales, por lo tanto $S^{-1}R$ es un UFD.

Edit: Como arturo menciona, esto requiere de $0 \not\in S$. También, se requiere que los $R$ es noetherian.