¿Cómo podemos demostrar que cada grupo finito $G$ tiene un grupo electrógeno de tamaño no más que $\log_2|G|$?
Alguien me puede dar un Consejo.
Respuesta
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andrewz
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Considere la posibilidad de $M≤G, M \not= G$, de modo que $\forall {P≤G, M\subsetneq P : M≤P≤G \implies P=G}$
Creo $M$ es llamado un máximo subgrupo de $G$.
Considere la posibilidad de $x\notin M$, $M \subsetneq \langle M,x \rangle \subseteq G \implies \langle M,x\rangle = G$
La inducción por el teorema es cierto para $M$.
$m=|M|$, $n=|G|$
$M$ se genera con $\log_2m$ elementos $\implies G$ se genera con $\log_2 m+1$.
$m\mid n$, $ m<n \implies m≤n/2$
$\log_2m+1≤\log_2n/2 + 1=\log_2n - \log_22 + 1 =\log_2n $
El logaritm - vamos a tener $G=H_0\supset H_1 \supset H_2 \supset \dots \supset H_s={1}$ una cadena de máxima subgrupos.
Debido a $[H_i:H_{i-1}]≥2, i=0,1,\dots,{s-1}$, e $n=|G|=\prod_1^s[H_i:H_{i-1}]≥2*2*\dots*2=2^s \implies s≤\log_2n$
Así que para demostrar que $G$ puede ser generado con $≤\log_2n$ elementos, permite llevar a $x_1 \in G\setminus H_1$, y tenemos que $G=\langle x_1,H_1\rangle$. Seguimos tomando $x_2 \in H_1\setminus H_2$, y tenemos que $G=\langle x_1,x_2,H_2\rangle$, $\dots$, al final llegamos a $G=\langle x_1,\dots,x_s\rangle$,$s≤\log_2n$.
