Punto fijo de la función continua

Question

Que $f:[0,5] \rightarrow \mathbb R$ ser continuo donde $f(0) = f(5)$. Entonces $\exists c \in [0,4]: f(c) = f(c+1)$.

Mi primera idea era mostrar que $h:[0,4] \rightarrow \mathbb R: x \mapsto f(x)-f(x+1)$ tiene un cero.

¿Cuál es la forma más fácil de probar esto?

Answer 1

Si $f(0)=f(1)$, luego de que haya terminado. Suponga $f(0)<f(1)$. El mapa de $g(x)=f(x+1)-f(x)$ es continua y $g(0)>0$. Si $g(y)\le0$ algunos $y\in[0,4]$, entonces usted puede utilizar el teorema del valor intermedio para concluir la existencia de una $c\in[0,4]$ tal que $g(c)=0$. Así que supongamos que $g(y)>0$ todos los $y\in[0,4]$. Ahora, $f(5)-f(0)=\sum_{i=0}^4 (f(i+1)-f(i))=\sum_{i=0}^4 g(i)>0$, lo que contradice $f(5)=f(0)$.

Esto funcionó muy bien porque el dominio es de la longitud de un número entero de veces la diferencia entre los puntos con la misma imagen. Llame a la longitud del dominio $l$, y el más corto) diferencia $k$, así que aquí $l=5, k=1$.
Hay un contraejemplo donde $1<\frac lk<2$. Considere la posibilidad de $\sin(x)$$[0,2\pi]$, lo $l=2\pi$. Los ceros de $\sin$$0, \pi, 2\pi$. Entre el $0$ $\pi$ la función es positiva, entre el $\pi$ $2\pi$ es negativo. Ahora, si $k=\frac 32\pi$, $\sin(c)$ siempre va a ser $\ge0$ $\sin(c+k)$ siempre va a ser $\le0$. Pero aquí tenemos a $\frac lk=\frac 43.$

Answer 2

Usted no debería estar buscando un punto fijo: satisfaga un punto fijo de su $h$ $f(x) - f(x+1) = x$, mientras que usted está buscando $f(x) - f(x+1) = 0$; es decir, un cero de $h$. Esto parece para mí debería ser una aplicación del teorema de valor intermedio.