Polinomio minimal de $\zeta+\zeta^{-1}$

Question

Encuentra el polinomio minimal de $\zeta+\zeta^{-1}\in \mathbb{Q}(\zeta)$ sobre $\mathbb{Q}$, donde $\zeta$ es la raíz primitiva $13^{th}$ de la unidad.

Todo lo que sé es que el polinomio minimal debería ser de grado 6.

Mis pensamientos

Normalmente, dado un elemento, digamos $\sqrt{2}+\sqrt{3}$, para encontrar el polinomio minimal, tomamos $\alpha=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ y lo elevamos al cuadrado y hacemos simplificaciones adicionales para obtener una combinación lineal de potencias de $\alpha$ (polinomio en $\alpha$) igual a cero, Si el polinomio resultante es irreducible, decimos que es un polinomio minimal para el elemento dado sobre el campo dado. Sin embargo, para el elemento $\zeta+\zeta^{-1}$ este método es demasiado complicado.

¿Podrías sugerir algún otro procedimiento (si lo hay) o una pista para simplificar el cálculo?

Answer 1

La teoría de Galois proporciona algunas herramientas para esto:

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Supongamos que $\rm L/K$ es Galois con $\rm G=Gal(L/K)$ y $\rm m(x):=minpoly_{\alpha,K}(x)$. Entonces

$\quad \rm m(\sigma(\alpha))=\sigma(m(\alpha))=\sigma(0)=0$ implica que $\rm (x-\sigma\alpha)\mid m$ en $\rm L[x]$ para todo $\rm \sigma\in G$,

$\quad \rm(x-\sigma\alpha)$ son coprimos, $\rm \sigma\in G/S$, $\rm S=Stab_G(\alpha)$, implica que $\rm f(x):=\prod\limits_{\sigma\in G/S}(x-\sigma\alpha)\mid m$ en $\rm L[x]$,

$\quad \rm \sigma f(x)=f(x)$ para todo $\sigma\in G$ implica que $\rm f(x)\in K[x]$; $\rm f(\alpha)=0$ implica que $\rm m(x)\mid f(x)$ en $\rm K[x]$,

$\quad \rm f(x)\mid m(x)$ y $\rm m(x)\mid f(x)$ y ambos $\rm f,m$ son mónicos implica que $\rm f(x)=m(x)$.

Por lo tanto, los ceros del polinomio minimal de $\rm\alpha$ sobre $\rm K$ son precisamente sus conjugados de $\rm Gal(L/K)$.

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Como ${\rm Gal}\big({\bf Q}(\zeta_n)/{\bf Q}\big)=({\bf Z}/n{\bf Z})^\times$ es suficiente considerar $\sigma:\zeta\mapsto\zeta^k$ para $k=1,\cdots,12$.

Por simetría, solo necesitamos considerar $1,\cdots,6$ para $\alpha=\zeta+\zeta^{-1}$. Así que

$$\begin{array}{ll} {\rm minpoly}_{\zeta+\zeta^{-1},\bf Q}(x) = & ~~~~\left(x-(\zeta+\zeta^{-1})\right)\left(x-(\zeta^2+\zeta^{-2})\right)\left(x-(\zeta^3+\zeta^{-3})\right) \\ & \times\left(x-(\zeta^4+\zeta^{-4})\right)\left(x-(\zeta^5+\zeta^{-5})\right)\left(x-(\zeta^6+\zeta^{-6})\right). \end{array}$$

Simplifica la expansión resultante mediante las reglas $\zeta^n=\zeta^{n\,\bmod\,13}$ y $\sum\limits_{k=0}^{12}\zeta^k=0$.

Answer 2

Enfoque computacional de teoría cero:

Dado que $\zeta^{13}-1=0$, $\sum\limits_{k=0}^{12}\zeta^k=0$ por lo tanto $1+\sum\limits_{k=1}^6x_k=0$, donde $x_k=\zeta^k+\zeta^{-k}$. Sea $x=x_1$, entonces el sistema $x^k=\sum\limits_{2i\leqslant k}{k\choose i}x_{k-2i}$ para cada $k\geqslant1$ es triangular inferior con incógnitas $(x_k)_{k\geqslant1}$ y diagonal unitaria por lo que cada $x_k$ es una combinación lineal con coeficientes enteros de $x^i$ para $i\leqslant k$, por ejemplo $x_1=x$, $x_2=x^2-2$, $x_3=x^3-3x$, $x_4=x^4-4x^2+2$, y así sucesivamente.

Por lo tanto, $\sum\limits_{k=1}^6x_k=P_6(x)$ donde $P_6$ es un polinomio mónico de grado $6$ con coeficientes enteros, y $P_6(x)+1=0

Answer 3

Esta respuesta es en respuesta al comentario de @anon.

No es el caso que los polinomios de Chebyshev sean una alternativa a la teoría de Galois. En un enfoque basado en los polinomios de Chebyshev, aún necesitas determinar primero el grado $[{\bf Q}(\zeta+\zeta^{-1}):{\bf Q}]$ a través de la teoría de Galois. Pero una vez que sepas este grado, entonces puedes escribir el polinomio minimal mediante los polinomios de Chebyshev.

Sea $\zeta$ una raíz primitiva $n$-ésima de la unidad, donde $n$ es un primo impar arbitrario. Escribiendo $\alpha:=\zeta+\zeta^{-1}$, sabemos a través de la teoría de Galois que el polinomio minimal de $\alpha$ sobre ${\bf Q}$ tiene grado $(n-1)/2$. Por lo tanto, si podemos escribir un polinomio mónico sobre ${\bf Q}$ de grado $(n-1)/2$ que tenga a $\alpha$ como raíz, entonces este polinomio será automáticamente el polinomio minimal de $\alpha$ sobre ${\bf Q}$. Para lograr esto, recordamos que el polinomio de Chebyshev $T_n(X)$ es un polinomio de grado $n$ en ${\bf Q}[X]$ que satisface la ecuación funcional $$T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta).$$ Escribe $z=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$, por lo que $z+z^{-1}=2\cos\theta$ y así $$T_n\left(\frac{z+z^{-1}}2\right)=\frac{z^n+z^{-n}}2.$$ Se sigue que $$T_n\left(\frac{Z+Z^{-1}}2\right)=\frac{Z^n+Z^{-n}}2$$ es una igualdad de funciones racionales, ya que es cierta para infinitos valores de $Z$. Nota que $$T_n\left(\frac{\alpha}2\right)=\frac{\zeta^n+\zeta^{-n}}2=1,$$ por lo que $\alpha$ es una raíz de $T_n(X/2)-1$. Ahora escribe $X=Z+Z^{-1}$, entonces $$T_n\left(\frac{X}2\right)-1 = \frac{Z^n+Z^{-n}}2 - 1 = \frac12 \left(Z^{n/2}-Z^{-n/2}\right)^2.$$ Se puede mostrar directamente que $$\frac{Z^{n/2}-Z^{-n/2}}{Z^{1/2}-Z^{-1/2}}$$ es un polinomio $h(X)$ en ${\bf Z}[X]$ (de hecho, es $U_{(n-1)/2}(X/2)+U_{(n-3)/2}(X/2)$, donde $U_m(X)$ es el polinomio de Chebyshev de segundo tipo de grado $m$; consulta mi respuesta a esta otra pregunta). Por lo tanto $$T_n\left(\frac{X}2\right)-1 = \frac12 (Z^{1/2}-Z^{-1/2})^2 \cdot h(X)^2 = \frac12(Z-2+Z^{-1})\cdot h(X)^2 = \frac{X-2}2\cdot h(X)^2.$$ Dado que $\alpha$ es una raíz del lado izquierdo, y $\alpha$ no es raíz de $X-2$, se deduce que $\alpha$ es una raíz de $h(X)$. Pero $h(X)$ tiene grado $(n-1)/2$, por lo que es una constante veces el polinomio minimal de $\alpha$ sobre ${\bf Q}$. De hecho, es fácil verificar que $h(X)$ es mónico, entonces en realidad es igual al polinomio minimal de $\alpha$ sobre ${\bf Q}$. Por lo tanto el polinomio minimal de $\alpha$ sobre ${\bf Q}$ es $U_{(n-1)/2}(X/2) + U_{(n-3)/2}(X/2)$. Ahora, por ejemplo, podemos escribir los coeficientes de este polinomio minimal, ya que sabemos que $$ U_m\left(\frac{X}2\right) = \sum_{k=0}^{\lfloor m/2\rfloor}\binom{m-k}k (-1)^k X^{m-2k}.$$ Extrañamente, esta expresión para los coeficientes de $U_m$ no parece estar en el artículo de Wikipedia sobre polinomios de Chebyshev. Para una derivación de esto desde principios fundamentales, puedes ver, por ejemplo, el inicio de mi paper con Abhyankar y Cohen. En ese paper usamos polinomios de Dickson en lugar de polinomios de Chebyshev; las traducciones a la notación de esta respuesta son $U_m(X/2)=E_m(X,1)$ y $2T_m(X/2)=D_m(X,1)$ (estas traducciones siguen de las ecuaciones funcionales relevantes).

Answer 4

Tenemos las extensiones $$\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}( \zeta + \zeta^{-1}) \subset \mathbb{Q}(\zeta)$$

Tenemos $[\mathbb{Q}(\zeta)\colon \mathbb{Q}( \zeta + \zeta^{-1})]\le 2$, y también $\ne 1$, ya que uno es real y el otro no lo es. Por lo tanto, el grado es $2$, y por lo tanto $$ [\mathbb{Q}( \zeta + \zeta^{-1})\colon \mathbb{Q}] = \frac{1}{2} [\mathbb{Q}(\zeta)\colon \mathbb{Q}]= \frac{\phi(n)}{2}$$

El polinomio minimal para $\zeta = \zeta_n$ es el polinomio ciclotómico de orden $n$ $$\Phi_n(X)= \prod_{d \mid n} (X^{\frac{n}{d}}-1)^{\mu(d)} = \prod_{d \mid n} (1 + X + \cdots X^{\frac{n}{d} - 1})^{\mu(d)}$$

Vemos a partir de lo anterior que $\Phi_n(X)$ es palindrómico. Por lo tanto, tenemos

$$\Phi_n(X) = X^{\frac{\phi(n)}{2}} Q( X+ \frac{1}{X})$$ donde $\deg Q = \frac{\phi(n)}{2}$

En nuestro caso $n=13$, $$\Phi_{13}(X) = \frac{X^{13}-1}{X-1}= (1+X + \cdots +X^{12}) = X^6( X^6 + \frac{1}{X^6} + X^{5}+ \frac{1}{X^5} + \cdots + X + \frac{1}{X} + 1)$$

Podemos usar un CAS (WA) para expresar $\frac{x^{13}-1}{x^6(x-1)}$ como un polinomio en $x+ \frac{1}{x}$

$$\frac{x^{13}-1}{x^6(x-1)} =z^6 + z^5 - 5 z^4 - 4 z^3 + 6 z^2 + 3 z - 1$$ donde $z= x+ \frac{1}{x}$. Por lo tanto, $Q(z) = z^6 + z^5 - 5 z^4 - 4 z^3 + 6 z^2 + 3 z - 1$ es el polinomio mínimo de $\zeta_{13} + \zeta_{13}^{-1}$, como se puede verificar.