Recuperar soporte de álgebra de mentira de la raíz del sistema

Question

Tengo las coordenadas de la $n$ raíces en la $d$-dimensiones del espacio que forman el sistema de la raíz de la $(n+d)$-dimensiones de la Mentira de álgebra. Quiero implementar el algoritmo para recuperar la Mentira de soporte del álgebra.

1. La Mentira de soporte entre los elementos de la Cartan subalgebra es, por definición, cero: $$[x_i, x_j] = 0.$$
2. La Mentira de soporte entre el $i$-th cartan subalgebra elemento y un elemento raíz es igual al $i$-ésima coordenada de la raíz veces el elemento raíz: $$[x_i, e_{\vec{\alpha}}] = \vec{\alpha}_i \cdot e_{\vec{\alpha}}. $$
3. ¿Cómo puedo recuperar la Mentira de soporte entre dos raíces? Puede ser demostrado ser proporcional a la raíz elemento correspondiente a la adición de vectores en el espacio de raíz. Estoy interesado en el coeficiente de proporcionalidad.

Pregunta: dadas dos raíces $\vec{\alpha}$ $\vec{\beta}$ ¿cuál es la forma más sencilla para calcular el coeficiente de proporcionalidad $c$ en

$$ [e_{\vec{\alpha}},\, e_{\vec{\beta}}] = c \cdot e_{\vec{\alpha}+\vec{\beta}}. $$

Actualización: la pregunta 2: al $\vec{\beta} = - \vec{\alpha}$ la Mentira de soporte es proporcional a la combinación lineal de las Cartan subalgebra elementos, derecho? Es cierto sólo si $\vec{\beta} = - \vec{\alpha}$? Cómo calcular la proporcionalidad de los coeficientes (son las coordenadas de la raíz vector)?

P. S. sé que esto implica resolver la relación recursiva, pero estoy buscando un general "fácil de usar" la fórmula o regla para $c$.

Answer 1

En mi opinión, la manera más agradable de hacerlo se explica en el libro de Kac álgebra de mentira dimensional infinito. Ver la sección 7.8 para el caso simplemente atada (la constante de proporcionalidad hay siempre es $\pm 1$ y tiene que con la opción de orientación en el Dynkin diagrama) y 7.9 para los casos restantes, que se deducen del caso simplemente atado por la sección a (por estándar ahora) plegable argumento.