El hecho de que la Riemann zeta función de $\zeta(s)$, y sus hermanos tienen un polo en $s=1$ es responsable de la infinitud de los grandes clases de números primos (todos los números primos, los números primos en progresión aritmética; primos representado por una forma cuadrática). No podemos esperar que demostrar la infinitud de los números primos $p = a^2+1$ de esta manera debido a que la serie $\sum 1/p$, sumados a lo largo de estos primos, converge. Esto implica que el correspondiente producto de Euler $$ \zeta_G(s)= \prod_{p = a^2+1} \frac1{1 - p^{-s}} $$ converge para $s = 1$. Pero si pudiéramos demostrar que $\zeta_G(s)$ tiene un polo en, digamos, $s = \frac12$, entonces el resultado deseado seguiría. Ahora sé que hay heurística en el número de números primos de la forma $p = a^2+1$ bajo $x$ (por Hardy y Littlewood?)
Pueden estas heurísticas se explica por hipotéticas propiedades de $\zeta_G(s)$ (o de Dirichlet de la serie), o puede que el dominio de convergencia de $\zeta_G(s)$ se derivan de dicha asymptotics?
Por CIERTO, aquí es un poco conocida conjetura por Goldbach en estos primos: vamos a $A$ ser el conjunto de todos los números de $a$ que $a^2+1$ es el prime ($A = ${1, 2, 4, 6, 10, $\ldots$}). A continuación, cada $a \in A$ ($a > 1$) puede ser escrito en la forma$a = b+c$$b, c \in A$. No he visto discutir esto en cualquier lugar.
