Encontrar la forma canónica racional de una matriz a partir de sus polinomios mínimos y característicos

Question

¿Cuál es la forma canónica racional de $A$ ? $$A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -1 & 4\\ 1 & 1 & -1 & 3\\ \end{bmatrix}$$

Encontré que el polinomio mínimo $m_A(x)=(x-1)^2$ y el polinomio característico $c_A(x)=(x-1)^4$ . Por lo tanto, los factores invariantes pueden ser $$x-1,x-1,(x-1)^2$$ o $$(x-1)^2,(x-1)^2$$ Por lo tanto, la forma canónica racional puede ser $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ \end{bmatrix}$$ o $$\begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ \end{bmatrix}$$

¿Cómo puedo averiguar rápidamente cuál es el correcto?

Answer 1

Si la primera matriz es la forma racional de $A$ , deberíamos tener $\dim \ker (A - I) = 3$ (porque esto es cierto para la forma racional y por lo tanto debe ser cierto para $A$ también) mientras que si la segunda matriz es la forma racional de $A$ , deberíamos tener $\dim \ker(A - I) = 2$ . Sólo hay que comprobar cuál de esas dos opciones es válida para $A$ calculando el rango de $A - I$ .

Answer 2

El "primero" $2\times 2$ bloque principal no es claramente un $x-1,x-1$ bloque ya que no es la identidad. Tampoco es el "otro" $2\times 2$ bloque principal ya que no es la identidad. Así que tenemos dos $(x-1)^2$ bloques.