Si un espacio métrico conectado, entonces una función localmente constante $X$ M, $f: X \to $ $M $ un espacio métrico, es constante

Question

Si $X$ es un espacio métrico conectado, entonces una función localmente constante $f: X \to $ M, $M $ un espacio métrico, es constante.

Pensamientos:

Puedo ver que esto es similar a la definición de la conexión: que cualquier mapa continuo de $X$ a un espacio de dos puntos es constante. ¿Cómo puedo probar la afirmación anterior aunque?

Gracias.

Answer 1

Por lo general, cuando usted tiene que hacer uso de la conexión de la asunción, el marco básico de la prueba siempre es primero definir un subconjunto $U\subset X$ en el que una propiedad es verdadera, y muestran que la $U$ es a la vez abierto y cerrado (en la topología de $X$), y es no vacío. Si $U$ está cerrada, $U^c$ está abierto. Y $U \cup U^c = X$ es un discontinuo de la unión de bloques abiertos que cubren $X$, lo que contradice la suposición de que $X$ está conectado a menos que uno de los dos conjuntos de $U$ $U^c$ está vacía.

Así que ahora, escoja una arbitraria $x_0$$X$, vamos a $U$ ser el subconjunto

$$ U:= \{ y\in X | f(y) = f(x_0) \} $$

Claramente $x_0\in U$, lo $U$ no está vacía. La definición de localmente constante implica inmediatamente que $U$ está abierto. (Si $x\in U$, el barrio en el que $f$ es localmente constante en $U$.)

Queda por demostrar que $U$ es cerrado. Para ello usamos ese $f$ es necesariamente continua. La definición de localmente constante, dice que para cualquier punto de $y\in X$, existe alguna abrir vecindario $N_y\subset X$ que $f(y)$ es constante. Es fácil ver que el mismo vecindario, puede ser utilizado como "$\delta-\epsilon$" barrio de continuidad.

Entonces a partir de la $f$ es una función continua, el conjunto $U$, el cual es definido por una igualdad de condición debe ser cerrado (tomar un límite de una secuencia de puntos de $x_n$ $U$ convergentes a $x\in X$, $f(x_0) = \lim f(x_n) = f(x)$).