Evaluar

Question

El límite es de: $$ \lim_{h \to 0} \frac {(x+h) ^ {\frac15}-x ^ {\frac15}} {h} $$

Cuando utilizar calculadora y sustituye $h$ $0.000001$ y $-0.000001$, el resultado es:

$$ \frac{1}{5x^{\frac45}} $$

Mi pregunta es:

1. Cómo hacerlo sin calculadora.
2. Mostrarme los pasos de cómo se hace.

Answer 1

Recuerda que $$ un ^ 5 - b ^ 5 = (a-b) (un ^ 4 + a ^ 3b + un ^ 2b ^ 2 + ab ^ 3 + b ^ 4). Entonces$ $, $$ a-b = \frac{a^5-b^5}{a^4 + a ^ 3b + a ^ 2b ^ 2 + ab ^ 3 + b ^ 4} $$ % de tomar $a = (x+h)^{1/5}$y $b=x^{1/5}$ obtenemos que\begin{align} \lim{h \to 0}\frac{(x+h)^{1/5}-x^{1/5}}{h} &= \lim{h \to 0}\frac{(x+h) -x}{h(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)} \ &= \lim{h \to 0}\frac{1}{(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)} \ &= \frac{1}{5x^{4/5}}, \end{align} desde $\lim{h\to 0}a = \lim_{h\to 0}b = x^{1/5}$.

Answer 2

Recordemos cómo la derivada de una función $f(x)$ se define: $$ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.\la etiqueta{1} $$ En el contexto de su problema, es bastante claro que estamos tratando con $(1)$ donde $f(x)=x^{1/5}$, lo que nos da $$ f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{1/5} x^{1/5}}{h}.\la etiqueta{2} $$ Supongo que usted ha encontrado el Poder de la Regla de cálculo. Con esto, podemos ver cómo calcular el $(2)$: $$ \lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{1/5} x^{1/5}}{h} = \frac{d}{dx}x^{1/5} = \frac{1}{5}x^{-4/5}=\frac{1}{5x^{4/5}}, $$ como se desee.

Answer 3

La expresión que has dado es la definición de derivado de $x^{1/5}$ con respecto a los $x$. $$\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{1/5}-x^{1/5}}{h}=\frac{d}{dx}x^{1/5}=\frac{1}{5}x^{1/5-1}=\frac{1}{5}x^{-4/5}=\frac{1}{5x^{4/5}}$$

Answer 4

Supongo que usted no sabe (aún) sobre los derivados. Por supuesto que la respuesta a su pregunta depende un poco de lo que ustedes ya conocen. Aquí hay una respuesta confiar en la generalizada del teorema del binomio $$ (a+b)^y = \sum_{i=0}^\infty \binom{y}{i} a^i b^{y-i} \tag{1}$$ con $$\binom{y}{i}= \frac{y(y-1)\cdots(y-i+1)}{i!}. $$

En su caso, usted tiene $a=h$, $b=x$, y $y=1/5$ que los rendimientos de $$(h+x)^{1/5}-x^{1/5} = \sum_{i=1}^\infty \binom{1/5}{i} h^i x^{1/5-i}.$$ Como resultado, usted puede escribir $$ \frac{(h+x)^{1/5}-x^{1/5}}{h} = \sum_{i=1}^\infty \binom{1/5}{i} h^{i-1} x^{1/5-i}.$$

Ahora bajo el límite de $h\to 0$ sólo el término con $i=1$ sobrevive y usted simplemente tiene que evaluar $$\lim_{h\to0}\frac{(h+x)^{1/5} x^{1/5}}{h} = \binom{1/5}{1} x^{1/5-1} = \frac15 x^{-4/5},$$

Answer 5

utilizar el teorema del binomio de la forma $$(BIG + small)^n = BIG^n + nBIG^{n-1}small+ \cdots$ $

Aquí es cómo se aplica: $(x + h)^{1/5} = x^{1/5} + \frac{1}{5}x^{4/5}h + \cdots$ que $\dfrac{(x+h)^{1/5} - x^{1/5}}{h} = \frac{1}{5}x^{4/5}+ \cdots$ y en el límite de $\frac{1}{5}x^{4/5}$