De acuerdo a la Wikpedia, de Hardy-Littlewood conjetura dice que $$\pi_2(n) \sim 2 C_2 \frac{n}{(\ln n)^2} \sim 2 C_2 \int_2^n {dt \over (\ln t)^2}$$ donde $$C_2 = \prod_{p\ge 3} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2} \approx 0.66016 18158 46869 57392 78121 10014\dots$$ Wikipedia también dice que "Esta conjetura puede ser justificado (pero no demostrado) suponiendo que $1 / \ln t$ describe la función de densidad de la primer distribución, una hipótesis sugerida por el teorema de los números primos."
Podría alguien elaborar un poco sobre cómo podemos obtener la forma de arriba de la conjetura mediante punto de vista probabilístico.
Muy ingenuamente, se podría decir que el primer número teorema me dice que un número $p\le x$ es una de las principales es de aproximadamente $\frac1{\ln x}$. Si considero que la "$p$ es un prime" y "$p+2$ es una de las principales" como eventos independientes, me gustaría llegar a la probabilidad de aproximadamente el $\frac1{\ln^2 x}$. Así que esto daría lugar a la conjetura de la forma $$\pi_2(x)\sim \frac{x}{\ln^2 x}.$$ Dejando de lado la suposición de que los dos eventos son independientes, por encima de la heurística es bastante problemático. Debemos de alguna manera incorporar el hecho de que, en orden a conseguir un par de gemelos de los números primos, $p+2$ no puede ser divisible por cualquier menor de los números primos.
¿Cómo podemos encontrar de forma heurística que $C_2$ descrito anteriormente es el "correcto" constante para esta conjetura? Hay un simple enfoque probabilístico, que llevarían a la fórmula anterior?
