Complejidad de un operador del adjoint del uno mismo es uno mismo-adjoint en el espacio complexified

Question

En "álgebra Lineal se hace la derecha" 9.b.4 :

Supongamos $V$ es un verdadero producto interior el espacio y el $T \in \mathcal{L}(V)$ es auto-adjunto. Mostrar que $T_\mathbb{C}$ es un uno mismo-adjoint operador en el interior del espacio del producto $V_\mathbb{C}$.

Mi manera de hacerlo es como sigue:

Desde $T$ es auto-adjunto en virtud de real del producto interior espacio vectorial, por real teorema espectral, existe una base ortonormales $\mathcal{B}$ tal que $\mathcal{M}(T,\mathcal{B},\mathcal{B})$ es la diagonal de la matriz y de todas las $\lambda_i \in \mathbb{R}$ están en la diagonal.

W. r.t la misma base $\mathcal{B}$, $\mathcal{M}(T_\mathbb{C},\mathcal{B},\mathcal{B})$ es el mismo que $\mathcal{M} (T,\mathcal{B},\mathcal{B})$, y debido a $\lambda_i$ son reales, tenemos $\mathcal{M}(T_\mathbb{C}^*,\mathcal{B},\mathcal{B})$=$(\overline{\mathcal{M}(T_\mathbb{C},\mathcal{B},\mathcal{B})})^t$=$\mathcal{M}(T_\mathbb{C},\mathcal{B},\mathcal{B})$, lo que implica $T_\mathbb{C}$ es auto-adjunto.

Alguien me puede decir ¿hay algo malo en esta prueba?

Answer 1

La prueba es correcta. Sin embargo, la prueba utiliza el teorema espectral real, que es una herramienta profunda. Hay una prueba más simple que sólo utiliza las definiciones. Específicamente, se deberá verificar de las definiciones que \langle$ {T {\mathbf {C}} (u + iv), x + iy} \rangle = \langle{u + iv, T {\mathbf {C}}(x + iy)} \rangle, $$ % todo $u, v, x, y \in V$, lo que implica que el $T_{\mathbf{C}}$ es uno mismo-adjoint.