Suma de dígitos de $3k$ dadas las sumas de dígitos de $k$ y $44k$

Question

Definir $S(n)$ a ser la suma de dígitos de $n,n\in\mathbb{N_{\geqslant0}}$. A continuación, se da que:

1. $S(n)\equiv n\pmod9,\forall n\in\mathbb{N}$
2. $S(a+b)\leqslant S(a)+S(b),\forall a,b\in\mathbb{N}$
3. $S(ab)\leqslant S(a)S(b),\forall a,b\in\mathbb{N}$

Determinar el $S(3k)$ que $S(k)=100$ y $S(44k)=800$, $k\in\mathbb{N_{\geqslant0}}$. No se encuentra $k$.

Esto es lo que he reunido hasta ahora:

1. $S(3)=3$ $S(k)=100$
2. $S(3k)\leqslant S(3)\times S(k)$
3. $\therefore S(3k)\leqslant 300$

A partir de aquí no estoy seguro de cómo determinar el valor exacto de $S(k)$. Yo sé que un posible $k$ $S(k)=100$ $S(44k)=800$ $k=\frac{10^{100}-1}{9}=11\cdots1$ donde $k$ 100 dígitos y todos sus dígitos se $1$. A continuación,$S(\frac{10^{100}-1}{9})=300$. Pero la respuesta no debe incluir el valor de $k$.

Alguna idea de cómo puedo cambiar el de arriba para convertirse en una igualdad a partir de una desigualdad?

Answer 1

Podemos probar $S(3k) \geqslant 300$ (y por lo tanto igualdad) como sigue:

Desde $44k = 11 \cdot 4k$,

\begin{align} 800 = S(44k) \leqslant 2 \cdot S(4k), \end{align} así $S(4k) \geqslant 400$. Pero desde

\begin{align} S(4k) = S(3k + k) \leqslant S(3k) + S(k) = S(3k) + 100, \end{align} obtenemos que

\begin{align} S(3k) \geqslant S(4k) - 100 \geqslant 300. \end{align}