En este artículo de biología, al final de la página 4, el autor habla sobre una variable aleatoria que nunca toma valores fuera del rango $[0,1]$ ($0$ y $1$ incluidos en el rango). Él dice que la máxima varianza que esta variable aleatoria puede tomar es igual al producto del valor esperado de la variable aleatoria por el valor esperado de uno menos la variable aleatoria. En otras palabras:
$$\max\mathrm{Var}\left(X\right) = \mathrm{E}(X) \cdot \mathrm{E}(1-X)$$
¿Es cierto? ¿Por qué es cierto?
Es verdad. Una razón simple es que $$\mathrm{var}(X)=E(X^2)-m^2$$ donde $m=E(X)$ y que, si $X$ está casi seguro en $[0,1]$, entonces $X^2\leqslant X$ casi seguramente por lo tanto $E(X^2)\leqslant E(X)=m$, así $$\mathrm{var}(X)\leqslant m-m^2=m(1-m). $$ Más generalmente, si $0\leqslant X\leqslant x$ casi seguro entonces $\mathrm{var}(X)\leqslant xm-m^2$.
+1 ¡Muchas gracias! ¿Por qué dices "casi seguramente" mientras que es seguro que de la forma en que se define mi variable, la probabilidad de tomar cualquier valor fuera del rango [0,1] es cero?
Esa es la varianza de una variable aleatoria de Bernoulli, que está limitada a tomar solo los valores 1 o 0. Si mantienes constante el valor esperado, concentra la probabilidad en los valores extremos de la variable hará que sea más variable que permitirle tomar valores que puedan estar más cerca uno del otro
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