Encontrar todas las funciones holomorfas $f$ Satisfaciendo a $f(1-f(z))=f(z)$ ?

Question

Encontrar todas las funciones holomorfas $f$ (en $\mathbb{C}$ ) que satisfaga $f(1-f(z))=f(z)$ ?

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En primer lugar, toda función constante $f(z)=w$ es holomorfa y satisface nuestra condición. Ahora supongamos $f$ no es constante. Así que hay algo de $z_0$ tal que $f'(z_0)\ne 0$ .

Cada $y$ en el rango $f$ debe satisfacer $f(y)=1-y$ . Ahora bien, como el rango de $f$ tiene un interior no vacío y es entero, $f(z)=1-z$ en todas partes.

¿Es eso correcto? Tengo la sensación de que me falta algo...

Answer 1

Sí, el PO tiene razón. Se puede redefinir fácilmente el problema de OP ( $f \leftrightarrow 1-f$ ) como preguntar lo siguiente.

Encontrar todas las funciones holomorfas $f$ (en $\mathbb{C}$ ) que satisfaga $$\tag{1} f\circ f~=~f.$$

Posible método elemental: Utilizar la regla de la cadena

$$\tag{2} (f\circ f)^{\prime}(z)~=~ f^{\prime}(f(z))f^{\prime}(z) ~=~f^{\prime}(z). $$

Ya sabemos que las funciones constantes $f$ son soluciones de (1), por lo que se supone que $f$ es una función no constante. Por lo tanto, podemos suponer que existe un punto $a\in\mathbb{C}$ (y un barrio abierto $U$ de $a$ ) para que $f^{\prime}$ no desaparece en $U$ . Entonces la ec. (2) significa (utilizando el teorema de la función inversa) que existe una vecindad abierta $V$ de $f(a)$ para que

$$\tag{3} \forall w\in V:~~ f^{\prime}(w)~=~1. $$

La ecuación (3) implica que existe una constante de integración $b$ para que $$\tag{4} f(w)~=~w+b.$$ Si se introduce la ec. (4) en la ecuación (1) se obtiene $b=0$ . Así que $f$ es el mapa de identidad.