Límites en los elementos de la matriz de operadores ilimitados

Question

Deje $H$ ser un espacio de Hilbert separable und $T$ posiblemente ilimitada densamente definido operador lineal. (Uno podría suponer que la ess. auto-adjunto, pero me gustaría evitar esta suposición.) Deje $\{e_n\}$ ser un ortonormales base de $H$. Los elementos de la matriz de $T$ w.r.t. esta base se \begin{equation} T_{mn}:=\langle e_m, Te_n\rangle. \end{equation} (Supongo que la base debe estar en el dominio de definición del operador. Para la siguiente discusión debería ser posible asumir, que el espacio de Hilbert es $L^2(\mathbb{R})$ y el operador se define, al menos en el de Schwarz funciones)

Mi pregunta es para que los números complejos $y,z$ la serie \begin{equation} f(y,z):=\sum_{m,n} T_{mn}\frac{y^mz^n}{\sqrt{m!n!}} \end{equation} es convergente. Me gustaría encontrar condiciones para $T$ de manera tal que la función de $f$ es definido en todas partes en $\mathbb{C}^2$ y holomorphic. En el papel (R. J. Glauber, Coherente e incoherente estados del campo de radiación, Phys. Apo. 131 (1963) 2766-2788) el autor afirma, sin hacer referencia a ese arbitrarias de operadores (edición: presupuesto exacto es "Los operadores que se producen en la mecánica cuántica", lo siento por impreciso parafraseando) \begin{equation} |T_{mn}|\leq M n^j m^k \end{equation} para números fijos $M, j ,k$, y que esto implica la convergencia de la serie en todas partes. De Cauchy-Schwarz no parece ayudar a probar esto. ¿Cómo puedo mostrar este resultado? Estoy muy feliz por todas las referencias en las propiedades matemáticas de los elementos de la matriz y muchas gracias de antemano por sus respuestas.

Answer 1

Bajo los supuestos de la única restricción de estos elementos de la matriz es que para cualquier vector de $x$ en el dominio de $T$, su imagen se $Tx$ debe tener finito norma. Si suponemos que todos los vectores de la base están en el dominio de $T$ (que es dependiente de la declaración y no seguir a partir de la hipótesis), entonces tenemos $$ T e_n = \sum_m e_mT_{mn}, $$ pero la norma de este vector es simplemente la suma de los coeficientes en ortonormales base cuadrada. Por lo tanto, tenemos que $$ \sum_m |T_{mn}|^2 < \infty .$$ Ya que esta serie es convergente, tenemos que por cada $n$ secuencia $T_{mn}$ converge a $0$ $m \to \infty$ (esta condición es necesaria, pero aún no son suficientes debido a la descomposición de los coeficientes debe ser lo suficientemente rápido).

Ahora en la dirección opuesta: suponga que el conjunto de elementos de la matriz de $T_{mn}$ la satisfacción de la condición derivada de la anterior es dado. Elija el dominio de $T$ a ser el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de los vectores de la base y definir $T$ por la fórmula anterior. Este dominio es denso para los supuestos mencionados están satisfechos. Por lo tanto llegamos a la conclusión de que las condiciones que se derivan de los mejores que puedes conseguir. Por supuesto, esto es mucho más débil que la desigualdad a la que usted menciona, y ya fue demostrado en los comentarios de que no es cierto en general. Esto está de acuerdo con el estándar de principio en análisis funcional: Si no hacer algunas suposiciones sobre el operador y permitir que sea ilimitado, a continuación, se puede, como patológicas como usted se imagina.

Si asumimos que el operador $T$ es simétrica (sólo en el sentido de que los elementos de la matriz de satisfacer $T_{mn}=T_{nm}^*$, no en el compicated funcional-analista de sentido), entonces se tiene también la misma estimación para la secuencia de la $T_{mn}$ $n \to \infty$ $m$ fijo.

Si se sabe más sobre el dominio de $T$, entonces, en principio, más las estimaciones pueden ser construidas, debido básicamente al hecho de que la imagen de cualquier vector debe tener un número finito de norma.

Estoy bastante seguro de que si las suposiciones tales como esencial auto-adjointness (o incluso mucho más débil: la normalidad, closability) se realiza de manera mucho más rígidas se pueden hacer estimaciones acerca de estos elementos de la matriz. Lamentablemente no soy capaz de dar ningún detalle de la parte superior de mi cabeza. En general, tenga en cuenta que la diferencia entre el general unbounded operador auto-adjunto del operador es enorme.