¿Por qué es el símbolo de las derivadas $\frac{d}{dx}$?

Question

¿Es esta notación para derivadas solo un símbolo, o hay realmente una razón detrás de ella? Entiendo el significado detrás de $\frac{dy}{dx}$ ya que esa es la fórmula para calcular la pendiente. Pero ¿se puede separar la $d$ de la $y$ como en $\frac{d}{dx}y$?

Answer 1

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$ es un operador, por lo que $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$ significa precisamente $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}(y)$.

Tomamos $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}$ como el símbolo para el operador diferencial, porque entonces es intuitivo recordar cosas como la regla de la cadena. Es simplemente notación.

Answer 2

Es solo una generalización (puramente simbólica) de $\frac{dy}{dx}$.

Si la variable dependiente no tiene un nombre sino que es simplemente una expresión, tendríamos que escribir algo como $$ \frac{d(x^2+2x+1)}{dx} $$ o lo que sea. En particular para derivadas de orden superior esto significaría que la función podría terminar en un anidamiento de barras de fracción (formales), por lo que resulta más fácil notar pretender que la $y$ en $\frac{dy}{dx}$ es solo un factor que podemos sacar de la fracción.

Como bono, esto nos da una notación convenientemente memorable para el operador que lleva una expresión a su derivada.

Answer 3

Suponga que tiene una fórmula para $y$ en términos de $x$, como $$ y = x^3 + 2x $$ Entonces puede, en algún punto $x = a$, calcular la pendiente: $$ \frac{dy}{dx} = 3a^2 + 2 $$ Y se da cuenta (después de algún trabajo) de que realmente esto funciona para cualquier $a$, y por lo tanto quizás lo escriba como una función $$ \frac{dy}{dx}(a) = 3a^2 + 2 $$ que se lee "la pendiente en $a$ es $3a^2 + 2$, para cualquier número real $a." Pero una vez que haya hecho eso, también podría escribir $$ \frac{dy}{dx}(x) = 3x^2 + 2. $$

Y lo que ha hecho es comenzar con una función $y$ de la variable $x$, y producir una nueva función de $x$, llamada la derivada. Esa nueva función generalmente no se escribe como yo lo he hecho, sino que se escribe $$ \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2. $$ Es natural pensar en "pasar de $y$ a esta nueva función" como una operación en $y, una especie de función que se aplica a una función para producir una nueva.

¿Cómo deberíamos llamar a esta nueva operación? Bueno, podríamos darle un nombre elegante, $\frac{d}{dx}$, y luego su aplicación a $y$ sería algo como $$ \frac{d(y)}{dx}, $$ es decir, la "operación d por dx, aplicada a $y$". Y convenientemente (si olvida que en este caso los paréntesis significan "aplicar una función" en vez de "multiplicar"), se convierte en $$ \frac{dy}{dx}, $$

El atractivo de este "juego de palabras" notacional es tan grande que se ha afincado en las matemáticas, y ha logrado tanto confundir a generaciones de estudiantes de cálculo como ayudar a muchos matemáticos a realizar cálculos rápidamente que serían mucho más complicados sin él.

Answer 4

Este concepto tendrá más sentido mucho más tarde si estudias geometría diferencial o topología diferencial. Puedes pensar en $d/dx$ como un operador de valores $\mathbb{R}$ en una función continua que sigue la regla de Leibniz, es decir, la regla del producto. Se define la operación como,

$$ \frac{d}{dx}\Bigr|_{x=a} (f) = \frac{d f}{dx}\Bigr|_{x=a}$$

Otra propiedad que mencioné (Leibniz) se expresa como,

$$ \frac{d}{dx}\Bigr|_{x=a} (f \cdot g)= f(a) \ \frac{d}{dx}\Bigr|_{x=a}(g) + g(a) \ \frac{d}{dx}\Bigr|_{x=a}$$

Más adelante, en geometría diferencial o topología diferencial, verás que podemos pensar en operadores con estas propiedades como vectores tangentes, es decir, en el caso $f: U \subset \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, diríamos que $d/dx$ abarca el espacio tangente para $\mathbb{R}$. Esto parece absurdo porque tienes muy pocas dimensiones aquí, pero la afirmación significa $v= \lambda(v) \ d/dx$ donde $v \in \mathbb{R}$.