Como se ha señalado en los comentarios, su argumento para (i) está perfectamente bien.
En cuanto a (ii), sí, es cierto, podrías aplicar ese resultado. Por otro lado, la prueba directa es sencilla:
Queremos demostrar que $$\tag{#} \sup{ \left\{ \sum_{k=1}^n |f(a_k) - f(a_{k-1})| \,:\, 0\leq a_0 \leq a_1 \leq \cdots \leq a_{n-1} \leq a_n \leq 1 \right\} } \lt \infty $$ donde el supremum se toma sobre todas las secuencias finitas crecientes en $[0,1]$ . La finitud se deriva de la condición de Lipschitz $|f(x) - f(y)| \leq M\cdot|x-y|$ porque para una secuencia creciente finita $0\leq a_0 \leq a_1 \leq \cdots \leq a_{n-1} \leq a_n \leq 1$ tenemos $$ \sum_{k=1}^n |f(a_k) - f(a_{k-1})| \leq \sum_{k=1}^n\phantom{|} M \cdot |a_k - a_{k-1}| \leq M $$ porque $|a_k-a_{k-1}| = a_{k}-a_{k-1}$ y $\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k-1}) = a_n -a_0 \leq 1 - 0 = 1$ . Esto demuestra que el supremum en $(\#)$ está de hecho limitada por $M \lt \infty$ .
Esto parece un poco más fácil que dar el rodeo a través de la continuidad absoluta (te darás cuenta de que apenas hice nada más que lo que tú hiciste en tu prueba para (i), y por eso di el argumento completamente detallado).
Compárese con la demostración del hecho de que la continuidad absoluta de una función $f$ implica que es de variación acotada (lo cual no es mucho más difícil, pero sí algo más engorroso, creo).
Ahora para (iii) no creo que se pretenda hacer esto a mano, ya que una prueba directa y detallada de esto implica una cantidad considerable de trabajo. Así que lo que haces es casi seguro la intención de este ejercicio.
Sin embargo, tenga un poco de cuidado: usted dice
También sé que si $f$ absolutamente continua $\implies$ $f$ es f variación acotada $\implies f'(x)$ existe a.e. y $$ f(x)=f(0)+\int_0^1 f'(x)\text{d}x. $$ Así, $f(x)=\int_0^1 f'(x)\text{d}x~\text{if}f(0)=0.$
La segunda implicación que escribe aquí es no cierto: la variación acotada por sí sola no da ese $f(x) = f(0) + \int_{0}^x f'(t)\,dt$ - Hay que tener en cuenta que aquí también hay dos errores tipográficos:
- el límite superior de la integral debe ser $x$ en lugar de $1$ y
- su igualdad $f(x) = f(0) + \int_{0}^1 f'(x)\,dx$ implica $x$ con dos significados diferentes: en el lado izquierdo tienes algún punto $x \in [0,1]$ y en el lado derecho tienes $x$ como "variable ficticia" para la integración.
Para ver que la implicación de que la variación acotada de $f$ no implica que $f(x) = f(0) + \int_{0}^x f'(t)\,dt$ , sólo hay que notar que la función de Cantor $h$ es monótona, por tanto de variación acotada, pero $\int_{0}^x h(t)\,dt = 0$ para todos $x \in [0,1]$ .
Sin embargo, creo que querías decir que $f$ absolutamente continua implica $f(x) = f(0) + \int_{0}^x f(t)\,dt$ sin interrumpir por " $f$ tiene una variación limitada", y entonces el resto del argumento aquí también está bien.
Para obtener otros ejemplos (triviales) para tu última pregunta puedes, por supuesto, tomar cualquier función continuamente diferenciable (o incluso sólo absolutamente continua) $g$ y añadir $h$ a ella. Los ejemplos genuinos que no implican la función de Cantor o variaciones simples de la misma son un poco engorrosos de plantear, así que creo que también has resuelto ese ejercicio satisfactoriamente.
Al buscar otra cosa, hace poco encontré esto bonito y cuidadoso escrito de Noella Grady, que trata sobre el presente y muchos asuntos relacionados.
