Imagen directa superior y cohomología local.

Question

Dejemos que $X$ sea un esquema, $Z \subset X$ un subesquema cerrado, y $\mathcal{F}$ una gavilla coherente entonces,

$\mathcal{R}^{i-1}_{j_{*}}(\mathcal{F}|_{X-Z})\cong\mathcal{H}_{Z}^{i}(X,\mathcal{F})$

Me gustaría ver este isomorfismo de forma explícita. Como no entiendo muy bien cómo ver los elementos de $H^i_Z(X,F)$ . Si es posible, ¿cómo puedo verlos en términos de cohomología de Cech?

Answer 1

El isomorfismo también es válido para la cohomología relativa de gavillas en espacios topológicos arbitrarios. Para una prueba, véase por ejemplo el Cor. 1.9 en la obra de Hartshorne Cohomología local (LNM 41). Es bastante elemental y autocontenido. Para una cierta intuición geométrica de la cohomología relativa se pueden consultar textos de topología algebraica (por ejemplo el libro de texto de Hatcher), porque coincide con la cohomología singular relativa en el siguiente sentido: Si $(X,A)$ es un complejo CW relativo y $G$ es una gavilla constante en $X$ existe un isomorfismo canónico $H^i_A(X,G) \cong H^i_{\mathrm{sing}}(X,X \setminus A,G)$ .

Si no estás satisfecho con las pruebas del isomorfismo que pides: ¿Qué quieres decir con explícitamente? ¿En qué forma quieres representar los elementos en ambos grupos de cohomología?