Problema geométrico con bisectrices de ángulo

Question

Tenemos un triángulo$\Delta ABC$ ($AC$ no es igual a$BC$ y por lo tanto el triángulo no es isósceles) con bisectrices de ángulo$AA_1$,$BB_1$ y$CC_1$ ($A_1$,$B_1$ y$C_1$ están en los lados$BC$,$AC$ y$AB$ respectivamente). Si el ángulo$AA_1C_1$ es igual al ángulo$BB_1C_1$, averigüe el ángulo$BCA$.

Sé que la respuesta es de 120 grados, pero no pude demostrar mucho.

Answer 1

Este problema me fue dado por mi profesora de matemáticas. Él me dio el siguiente consejo: deje que el punto X mentira en $CB_1$$CX=CA_1$. Después de algún tiempo, finalmente me las arreglé para resolver la tarea. Aquí está la solución:

Sin pérdida de generalidad podemos tener $AC>BC$ ($\Delta ABC$ no es isósceles). Es fácil demostrar que $CB_1 > CA_1$, por lo que el punto X se encuentra en el $segment$ $CB_1$. A continuación se muestra que $\Delta CIX$ es congruente a $\Delta CIA_1$ y, por tanto, $\Delta C_1IX$ es congruente a $\Delta C_1IA_1$. A partir de esto, hemos ángulo de $C_1XI$ es igual al ángulo de $IA_1C_1$ que es igual al ángulo de $IB_1C_1$ (de la declaración). Ahora podemos demostrar que el cuadrilátero $B_1C_1IX$ está inscrito. $=>$ (ángulo de $XB_1C_1$ $+$ ángulo de $XIC_1$) es igual a $180$ grados. Mediante el uso de simples ángulo de expresiones encontramos que el ángulo de $IB_1C_1$ es igual a $\gamma$ $-$ $90$ grados.

Después de saber esto, haciendo más ángulo de expresiones encontramos que el ángulo de $AC_1B_1$ es igual a $90$ títulos $- \alpha - \beta/2$ y el ángulo de $B_1C_1C$ es igual a $\alpha/2 + \beta$. Ahora vamos a utilizar tres teoremas del seno y conseguir esta igualdad: $AB_1/B_1C=(sin(\gamma/2)/sin(\alpha))*(cos(\alpha+\beta/2)/sin(\alpha/2+\beta))$. Ahora, usando el hecho de que $BB_1$ es la bisectriz de un ángulo en $\Delta ABC$ y otro del seno teorema de $\Delta ABC$ obtenemos sólo trigonométricas igualdad: $sin(\gamma)/sin(\alpha)=(sin(\gamma/2)/sin(\alpha))*(cos(\alpha+\beta/2)/sin(\alpha/2+\beta))$. Después de la simplificación tenemos esto: $2*cos(\gamma/2)=sin(\gamma/2-\alpha/2)/sin(\gamma+\alpha/2)$. Ahora vamos a utilizar la suma y la diferencia de identidades trigonométricas y la igualdad se parece a esto: $2*sin(\gamma)*cos(\alpha/2)+2*cos(\gamma)*sin(\alpha/2)=tg(\gamma/2)*cos(\alpha/2)-sin(\alpha/2)$. Hacemos un poco a tientas y, a continuación, algunos a tientas y el uso de un ángulo medio de la trigonometría fórmula y obtenemos esto: $sin(\alpha/2)*(2*cos(\gamma)+1)-tg(\gamma/2)*cos(\alpha/2)*(1-2*(1+cos(\gamma))=0$. Ahora $2*cos(\gamma)+1$ es un múltiplo común y que él es $0$ o $sin(\alpha/2)+tg(\gamma/2)*cos(\alpha/2)$ debido a que el producto es $0$ si uno de los múltiplos es $0$. El segundo caso es imposible debido a las $\alpha$ $\gamma$ de los ángulos en el triángulo y las funciones trigonométricas a partir de sus mitades son siempre positivas. Y desde el primer caso encontramos que el $\gamma$ $120$ grados.

Si algo en la solución no está claro, no dudes en preguntarme. He resumido algunos momentos porque este texto ha sido dos veces más grande.

P. S. espero que yo no he hecho ningún error.