Demostrar el teorema reducido de la representación de Riesz para espacios vectoriales de dimensión finita utilizando únicamente los conceptos del álgebra lineal

Question

Si alguien no ha estudiado análisis funcional, sino que sólo ha estudiado álgebra lineal, ¿cómo hacerle entender la idea del teorema de representación de Riesz para espacios vectoriales de dimensión finita?

Teorema de la representación de Riesz Wikipedia

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert, y sea $H^*$ denota su espacio dual, que consiste en todas las funciones lineales continuas de $H$ en el campo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ . Si $x$ es un elemento de $H$ entonces la función $\varphi_{x}$ para todos $y$ en $H$ definido por: \begin{align*} \varphi_x (y) = \langle y,x \rangle \end{align*} donde $\langle \cdot,\cdot \rangle$ denota el producto interior del espacio de Hilbert, es un elemento de $H^*$ . El teorema de la representación de Riesz afirma que cada elemento de $H^*$ se puede escribir de forma única en esta forma.

Esta descripción me resulta abstracta. Dado que el álgebra lineal es una especie de análisis funcional reducido, en el primer paso, estoy pensando en entender el teorema de representación de Riesz reducido aplicado al álgebra lineal.

En álgebra lineal, pretendemos resolver el problema de un sistema lineal \begin{align*} A x = b \end{align*} donde $A \in \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ es un $m$ por $n$ matriz, $x \in \mathbb{R}^n$ es un $n$ por $1$ vector columna y $b \in \mathbb{R}^m$ es un $m$ por $1$ vector de columnas. La matriz $A$ transforma los vectores en $\mathbb{R}^n$ a los vectores en $\mathbb{R}^m$ Por lo tanto, decimos $A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ . Pero el vector $b$ está realmente en el espacio de la columna de $A$ , digamos que $C(A) = \mathbb{R}^r \subset \mathbb{R}^m$ que tiene dimensión $r$ que denota el rango de $A$ . Por lo tanto, podemos decir $A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^r$ . Si tenemos un $m$ por $1$ vector columna $y$ entonces podemos escribir \begin{align} y^T A x = y^T b \end{align} Podemos reescribirlo en forma de producto interior \begin{align} \langle y,Ax \rangle = \langle y,b \rangle \end{align} Y si consideramos $b$ como un funcional en el espacio dual de $\mathbb{R}^r$ , denotado por $\varphi_{Ax}(\cdot) := \langle \cdot,b \rangle$ entonces \begin{align} \varphi_{Ax} (y) = \langle y, A x \rangle \end{align} Obsérvese que el mapeo entre $b$ y $\varphi_{Ax}$ es uno a uno. Decimos que cada $b$ en $\mathbb{R}^r$ se puede escribir de forma única en esta forma. Está muy cerca de la ecuación del teorema de representación de Riesz, pero parece que tenemos que usar $Ax$ en lugar de $x$ , a menos que $A=I$ y $m=n=r$ ?

Trato de enunciar la versión reducida del teorema de la representación de Riesz en álgebra lineal, como sigue:

$\mathbb{R}^r$ es un espacio de Hilbert, y su espacio dual $(\mathbb{R}^r)^*=\mathbb{R}^r$ que consiste en todas las funciones lineales continuas de $\mathbb{R}^r$ en el campo $\mathbb{R}$ . Si $Ax$ es un elemento de $\mathbb{R}^r$ entonces la función $\varphi_{Ax}$ para todos $y$ en $\mathbb{R}^r$ definido por: \begin{align*} \varphi_{Ax} (y) = \langle y,Ax \rangle \end{align*} donde $\langle \cdot,\cdot \rangle$ denota el producto interior del espacio de Hilbert, es un elemento de $(\mathbb{R}^r)^*$ . El teorema de la representación de Riesz afirma que cada elemento de $(\mathbb{R}^r)^*$ se puede escribir de forma única en esta forma. Es decir, cada vector $b$ en $\mathbb{R}^r$ puede ser representado por $\langle y,Ax \rangle$ .

Esto parece una conexión con la "formulación débil" de $Ax = b$ es decir, podemos encontrar la solución $x \in \mathbb{R}^n$ de $Ax = b$ si para cada vector de "prueba" $y \in \mathbb{R}^m$ allí tiene $\varphi_{Ax} (y) = \langle y,Ax \rangle$ .

En este momento todavía no entiendo del todo el teorema, así que puede que haya algo incorrecto en lo expuesto anteriormente. ¿Algún comentario? ¿Podría proporcionarme una estructura más clara del teorema de la representación reducida de Riesz en álgebra lineal?

Además, la demostración del teorema de la representación de Riesz en los libros de texto suele tomar con un espacio nulo de $\varphi$ denotado por $\mathrm{ker}(\varphi)$ y su espacio ortogonal $\mathrm{ker}(\varphi)^{\perp}$ . En álgebra lineal, sabemos que el espacio de filas de una matriz es siempre ortogonal a su espacio nulo. ¿Hay alguna relación entre estas dos ideas? En otras palabras, ¿podemos demostrar el teorema reducido de la representación de Riesz para espacios vectoriales de dimensión finita utilizando únicamente los conceptos del álgebra lineal?

Answer 1

Aquí hay una formulación del teorema de la representación de Riesz de mis notas de clase que puede ser útil.

Dejemos que $V,W$ sean espacios vectoriales sobre un campo $K$ con $\dim(V), \dim(W)< \infty$ y $f:V\times W \rightarrow K$ sea una forma bilineal no degenerada. Entonces para cada $\pi \in W^*$ existe $v \in V$ tal que $$\pi=f(v,\cdot)$$

Answer 2

Todo funcional lineal no trivial $\Phi$ en un espacio vectorial $V$ se caracteriza por su espacio nulo $N=\mathcal{N}(\Phi)$ que siempre es de co-dimensión uno en $V$ . Esto se debe a que $\Phi(v)=1$ para algunos $v$ que le permite escribir $$ w = (w-\Phi(w)v)+\Phi(w)v, $$ y $w-\Phi(w)v\in N$ es fácil de verificar directamente. Así que $V=N\oplus[\{v\}]$ . A la inversa, cada una de estas descomposiciones define un único funcional lineal $\Phi$ tal que $N=\mathcal{N}(\Phi)$ y $\Phi(v)=1$ . Para ver que $\Phi$ es único, supongamos que $\Psi$ es otra de esas funciones lineales. Entonces $\Phi(w-\Phi(w)v)=0$ implica $\Psi(w-\Phi(w)v)=0$ o $\Psi(w)=\Psi(v)\Phi(w)=\Phi(w)$ para todos $w$ . Esto es cierto para espacios lineales reales o complejos de dimensión finita o infinita.

Si $\Phi$ es un funcional lineal continuo no nulo en un espacio de Hilbert $V$ entonces $N=\mathcal{N}(\Phi)=\Phi^{-1}\{0\}$ es cerrado y, por tanto, existe un único vector $v$ tal que $v \perp N$ . Así que $V=N\oplus [\{v\}]$ donde la descomposición es ortogonal. Y podemos suponer $\Phi(v)=1$ multiplicando $v$ por un escalar apropiado. El funcional lineal $\Psi(w)=\frac{\langle w,v\rangle}{\langle v,v\rangle}$ tiene el mismo espacio nulo que $\Phi$ y $\Psi(v)=\Phi(v)=1$ . Por lo tanto, $\Psi=\Phi$ .

Se necesita un espacio de Hilbert en infinitas dimensiones para obtener un vector que sea ortogonal al espacio nulo de un determinado funcional lineal continuo. La continuidad asegura que el espacio nulo es cerrado, de modo que esto puede hacerse. En los espacios de dimensiones finitas, sólo se necesita Gram-Schmidt.