1 Oda dimensional con la solución en $L^2$

Question

Por parte de una gran pregunta, necesito una solución o un contraejemplo a la siguiente 1 dimensiones de la educación a distancia.

Deje $h\in L^2(0,\infty)$ (complejo de funciones con valores) y $r \in (0,\infty)$. Bajo las condiciones de contorno $w(0) = c_1a + c_2$ e $w'(0) = c_3a + c_4$ donde la $c_i$ son complejos y constantes $a$ es un complejo parámetro, hay un $a \in \mathbb{C}$ para el que no hay una solución en $H^2(0,\infty)$ para:

$$w''(t) = irw(t) - h(t) \ \ \ (t\in (0,\infty))?$$

El extraño las condiciones de contorno son sólo mi manera de decir que no es un parámetro quiero resolver por si existe una solución para esto, la educación a distancia con el otro en el negativo de la línea real.

Si yo uso de transformadas de Laplace, esto equivale a preguntar si existe $w \in H^2(0,\infty)$ tales que

$$\hat{w} = \frac{\hat{h}}{ir-s^2} - \frac{w(0)+sw'(0)}{ir - s^2}.$$

Hay una solución a esta ODA al tomar la transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior, es decir, $$w(t) = -\frac{1}{\sqrt{ir}}\int_0^t h(u)\sinh(\sqrt{ir}(t-u))du + \frac{w(0)}{\sqrt{ir}}\sinh(\sqrt{ir}t) + w'(0)\cosh(\sqrt{ir}t).$$

Sin embargo, esto no es obvio para mí si hay o no hay un $a$ por que es en $L^2(0,\infty)$. Hay otra solución para esta ODA que es en $L^2(0,\infty)$ o si no, hay una explícita contraejemplo? En otras palabras, dado $h\in L^2(0,\infty)$, hay no homogéneas las condiciones de contorno de la forma anterior el hecho de que me dé una de las soluciones de $w\in H^2(0,\infty)$.

Answer 1

1. Considere el caso homogéneo, es decir, $h=0$.

Las dos soluciones linealmente independientes son $e^{\pm \sqrt{ir} t}$, donde se toma el principio de la rama de corte de $\sqrt\cdot$. Con el fin de hacer que la solución de $L^2[0,\infty)$, usted necesita para descartar el aumento exponencial de la solución de $e^{\sqrt{ir} t}$ y mantener sólo la descomposición de una $e^{-\sqrt{ir} t}$. Por lo $\sinh$ e $\cosh$ no puede ser utilizado solo, sino en igualdad de peso par en cada uno de sus términos. Explícitamente $$w(t)=w(0)e^{-\sqrt{ir} t},$$ y $w'(0)=-w(0)\sqrt{ir}$. Sustituto en la forma lineal de $w(0)$ e $w'(0)$, podemos obtener fácilmente la condición en $a$ que es $a=-\frac{c_1\sqrt{ir}+c_3}{c_2\sqrt{ir}+c_4}$ si el denominador no se anula, y cualquier $a\in\Bbb C$ si el denominador y el numerador se desvanecen, y no existe, si sólo el denominador se desvanece.

2. Ahora considere la posibilidad de la no homogénea caso, pero con homogéneo de la condición de límite, es decir, $h\not\equiv0$ e $w(0)=w'(0)=0$.

Hay dos casos interesantes por dos tipos de funciones de Green. La diferencia de estos dos de la función de Green es una solución homogénea.

2.1 La primera de la función de Green es $$G_1(t)=\frac1{k}\sinh(kt)\Theta(t)$$ donde $k=\sqrt{ir}$ e $\Theta$ es la función escalón unitario. $$w(t)=-\int_0^t h(u)G_1(t-u)du.$$ Hay muchas $h$'s (contraejemplos saught por la OP), haciendo de $w\notin L^2[0,\infty)$ para $G_1$: (1) $h(t)=e^{-at}\in L^2[0,\infty)$ con algunos positivos $a$; (2) $h\in C[0,\infty)$ compacta compatible y positivo en $(0,T)$ de positivos $T$.

Para $G_1$, para producir $w\in L^2[0,\infty)$ con un valor distinto de cero $h\in L^2[0,\infty)\cap C[0,\infty)$, tanto la parte real y la parte imaginaria de $h$ tener que alternar sus signos más $t\in[0,\infty)$.

2.2 La segunda de la función de Green es $$G_2(t)=-\frac1{2k}e^{-k|t|}.$$ Entonces $$w(t)=-\int_0^\infty h(u)G_2(t-u)du+\int_0^\infty h(u)G_2(-u)du=-h*G_2+(h*G_2)(t=0),$$ donde $*$ representa la convolución. El segundo término es garantizar el nulo estado inicial. $G_2\in L^1[0,\infty)$. Por los Jóvenes de la convolución de la desigualdad, $$\|h*G\|_2\le \|h\|_2\|G_2\|_1.$$ Por lo $w\in L^2[0,\infty),\, \forall h\in L^2[0,\infty)$.

Nota: Como se indicó antes de $G_1-G_2=\frac{e^{kt}}k$ una solución de la ecuación homogénea.