El conjunto de polinomios con coeficientes enteros es denso

Question

Intento demostrar la siguiente afirmación invocando el Teorema de Stone Weierstrass.

Dejemos que $p$ sea un número entero y que $p<a<b<p+1$ . Supongamos que $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ es continua y $\varepsilon>0$ se dan. Existe un polinomio $P(x)=\sum_{k=0}^n a_k x^k \quad (n\geq 0,a_k\in\mathbb{Z})$ tal que $$\mid f(x)-P(x)\mid<\varepsilon \quad \forall x\in[a,b]$$

Trato de mostrar el cierre $A^-$ del conjunto de todos los polinomios de este tipo es subálgebra de $C(X)$ que separa los puntos. Es fácil demostrar si $f,g\in A$ entonces $f+g\in A^-$ y $fg\in A^-$ .

Sin embargo, no puedo mostrar $\alpha f\in A^-$ para $\alpha \in\mathbb{R}$ . Además, no puedo demostrar que $A^-$ separa los puntos de $[a,b]$ .

Por último, ¿falla este teorema cuando $[a,b]$ contiene un número entero?

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Sí, este resultado falla si $[a,b]$ contiene un número entero $n$ : para $\epsilon <1/2$ y $f : x \mapsto 1/2$ no se puede tener $\vert f-P \vert < \epsilon$ donde P es un polinomio con coeficientes en $\mathbb{Z}$ desde $f(n)=1/2$ y $P(n) \in \mathbb{Z}$ .

Answer 2

He encontrado que lo que preguntas se conoce como Teorema de Chudnovsky.

Se puede suponer que $p=0$ . Primero se demuestra que la función constante $f=1/2$ es un límite uniforme de una secuencia de polinomios con coeficientes en $\mathbb{Z}$ utilizando la secuencia $$P_0=X, \: P_{n+1}=2(1-P_n)P_n.$$ Así, el cierre de $\mathbb{Z} [X]$ en $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ contiene todos los racionales diádicos y luego contiene $\mathbb{R}$ . También $X \in \mathbb{Z} [X]$ . Entonces el álgebra $\bar{\mathbb{Z} [X]}$ contiene $\mathbb{R}[X]$ y así es todo $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ por Weierstrass.

Answer 3

Creo que el siguiente argumento funciona. Es fácil ver que $f,g\in A^-$ implica que $f+g\in A^-$ y $fg\in A^-$ .

Para cualquier $k\in\mathbb{N}$ podríamos escribir $$\frac{1}{k}=\frac{x-p}{[1-(1-k(x-p)) ]}=\sum_{j=0} (x-p) (1-k(x-p))^j, \quad p<x<p+1\quad (\star)$$

Tenga en cuenta que $\sum_{j=0}^n (x-p)(1-k(x-p))^j \in A$ para cada $n$ y la convergencia en $(\star)$ es uniforme. Así que $1/k\in A^-$ . De forma similar podríamos demostrar que lo mismo es cierto para $-k$ y $1/k$ . Por lo tanto, $r\in A^-$ para cualquier $r\in\mathbb{Q}$ .

Tome cualquier $\alpha\in\mathbb{R}$ . Existe un número racional $r$ en cada barrio de $\alpha$ pero esto significa que $\alpha$ es un punto límite de $A^-$ así que $\alpha \in A^-$ . Así, $\alpha f \in A^-$ siempre que $f\in A^-$ .

Para la separación, podríamos tomar $P(x)=x$ . Así que esto demuestra que $A^-$ es una subálgebra en $C([a,b])$ que separa los puntos de $[a,b]$ y se desvanece en ninguna parte en $[a,b]$ . La afirmación anterior se desprende de Stone-Weierstrass.