$A^TA=B^TB$. ¿Es$A=QB$ para algunos% #% ortogonales #%?

Question

Supongamos que $A$ e $B$ son dos matrices cuadradas y $A^TA=B^TB$. Podemos decir que $A=QB$ para algunos ortogonal de la matriz $Q$?

Si son vectores que tienen $\|a\|^2=a^Ta=b^Tb=\|b\|^2$, por lo que intuitivamente clara, ya que sólo tenemos que girar. Pero es difícil imaginar la matriz caso, pero no he sido capaz de mostrar.

Answer 1

La respuesta es sí. En particular, es suficiente para mostrar que para cada matriz $A$ , existe una matriz ortogonal $U$ tal que $$ A = U \ sqrt {A ^ TA} $$, lo que quiere decir que cada matriz Tiene una descomposición polar .

Answer 2

También hay una bonita forma geométrica de ver esto.

La interpretación geométrica de la descomposición de valor singular dice que un $(n\times n)$-matriz $A$ mapas de la unidad de $(n-1)$-esfera en $\mathbb{R}^n$ a un hyperellipsoid. Las longitudes de los ejes de este elipsoide son las raíces de los autovalores de a$A^T A$.

Así que si $A^T A = B^T B$, las matrices $A$ e $B$ mapa de la unidad $(n-1)$-esfera a congruentes hyperellipsoids. Por lo tanto $A$ e $B$ debe ser de la misma hasta ortogonal de la matriz, que representa la isometría que asigna un hyperellipsoid en el otro.