¿Puede un campo canónico reconstruir de su grupo multiplicativo?

Question

Entiendo que hay una gran cantidad de restricciones en el que abelian grupos de surgir como la multiplicación de los grupos de campos. Mi pregunta es que tipo de medico adjunto:

Supongamos que elijo un campo de $k$, pero no me diga qué es. Te doy un grupo abelian $G$ y decirle que $G\cong k^\times$. Pero sólo recibirá $G$ como un resumen de grupo; es decir, $G$ no vienen con la acción natural en $(k, +)$ o cualquier otra información hereditaria de $k$.

Dado $G$, se puede canónicamente definir un campo $\hat k$ tal que $\hat k \cong k$?

No me sorprendería en absoluto si la respuesta era "no". Pero como no estoy convencida de que, de cualquier manera, yo con optimismo trató de una construcción natural.

Yo en primer lugar, que aunque no sabemos nada acerca de $k$ como un conjunto, tenemos una correspondencia 1-1 entre $G$ y el distinto de cero elementos de $k$. Tenemos que inventar un elemento neutro aditivo y también de alguna manera producir una operación de adición compatible con la multiplicación.

Deje $(\Sigma, +)$ ser el libre abelian grupo generado por los elementos de la $G$; $\sigma: G\to \Sigma$ es la identificación de $g \in G$ como $\sigma(g) \in \Sigma$. En este punto, $\Sigma$ contiene el deseado $(k, +)$ como un subgrupo, aunque es demasiado grande. Continuando en el más libre de la manera posible, definir: $R = G \otimes_\mathbb{Z} \Sigma$. $R$ es, naturalmente, distributiva, pero está lejos de tener la completa estructura aditiva de $k$.

Deje $P$ ser el ideal generado por todos los elementos $\left\{g\otimes\sigma(g')-gg'\otimes\sigma(1)\mid g, g \in G\right\}$. Set $S=R/P$. Permitiendo natural de la distributividad y 0 compatible con $\otimes$, $S$ es un anillo con la multiplicación definida por $(g\otimes 1)(g'\otimes 1) = gg'\otimes 1$ .

Y obviamente $S$ contiene $k$, pero también tiene mucho otro contenido y la estructura que creo que ni siquiera es un campo. Puedo obtener alguna sugerencia sobre qué hacer a continuación (cociente? localizar?)? O si mi objetivo es imposible, me gustaría ver donde este intento se rompe.

Answer 1

Aquí hay dos razones por las que la respuesta es no. En primer lugar, si una construcción que merece ser llamado "canónica", debe ser functorial con respecto a isomorphisms. En particular, entonces, cada automorphism del grupo $G$ deberían dar lugar a un automorphism del campo asociado $k$. Obviamente, esto no es el caso: por ejemplo, $x\mapsto x^{-1}$ es un automorphism de cualquier grupo abelian, pero no se extenderá a un campo automorphism para la mayoría de los campos.

En segundo lugar, incluso si se considera el grupo de $G$ a ser dada solamente "isomorfismo" así que no podemos pedir de una acción de la automorphism grupo, todavía hay una cuestión que el grupo $G$ hasta el isomorfismo no determina el campo de $k$ hasta el isomorfismo. Por ejemplo, considere el campo de $\overline{\mathbb{Q}}$ algebraico números y el más pequeño de subcampo $k\subset\overline{\mathbb{Q}}$ que es cerrado bajo de tomar $n$th raíces para todos los $n$. Tenga en cuenta que $k$ es un buen subcampo de $\overline{\mathbb{Q}}$, debido a que no todos los polinomios de más de $\mathbb{Q}$ son resolubles por radicales. En particular, $k$ e $\overline{\mathbb{Q}}$ son no isomorfos, ya $k$ no es algebraicamente cerrado. Sin embargo, $k^\times$ e $\overline{\mathbb{Q}}^\times$ son isomorfos grupos: ambos son isomorfos a $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}\oplus V$ donde $V$ es un countably infinito-dimensional espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$. (Aquí la $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ sumando es el subgrupo compuesto de las raíces de la unidad. Desde $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ es divisible, es un sumando directo, y su complemento es una de torsión libre divisible abelian grupo y, por tanto, una $\mathbb{Q}$-espacio vectorial, que se ve fácilmente tener countably dimensión infinita.)

Como para cuando su intento se rompe, no hay mucho que decir. Simplemente no hay ninguna correcta "siguiente paso" para tomar después de lo que hemos hecho hasta ahora. Tenga en cuenta que su construcción de $R$ también es incorrecta: por tensoring con $G$ como un grupo abelian, que son la imposición de la estructura del grupo de $G$ aditiva en lugar de multiplicatively. Por ejemplo, si $G$ es cíclico de orden $2$, entonces su $R$ se $2$-torsión, mientras que el campo (con $3$ elementos), que quiere construir no debe ser $2$-torsión. La cosa correcta a hacer es en lugar de sólo directamente definir la multiplicación $\Sigma$, mediante el grupo de operación de $G$. Esto le da a lo que se conoce como el anillo de grupo $\mathbb{Z}[G]$. Es sólo un anillo, sin embargo, no es un campo, y no hay forma canónica para convertirlo en un campo cuya distinto de cero elementos provienen de elementos de $G$.