$(X,d)$ es compacto si cada $(X,d_k)$ es compacto

Question

Para cada una de las $k\in \mathbb N$, vamos a $d_k$ ser una métrica en $X$ tal que $d_k(x,y)\leq 1$ para todos los $x,y\in X$. Definir una nueva métrica, $$d(x,y)=\sum_{k\geq 0}2^{-k}d_k(x,y)$$ Demostrar que si $(X,d_k)$ es compacto para cada $k$ lo es $(X,d)$.

Aquí está mi intento de dejar $(x_n)$ ser una secuencia infinita, he extraído, a través de una diagonal argumento, una larga $(x_{nn})$ que converge a, digamos, $y_k$ en la métrica de $d_k$, para cada $k\in \mathbb{N}$. Ahora no entiendo cómo proceder a partir de aquí.

Esta pregunta ya se han preguntado antes, pero no pude encontrarlo.

Answer 1

El resultado no es cierto si no se dispone de condiciones de compatibilidad en $d_k$. El problema de ser $(X,d)$ no necesita ser completa.

Ejemplo: Vamos a $X=[0,1]$, y deje $\rho$ será el habitual métrica, $\rho'$ es la métrica obtenida a partir de a$d$ intercambio de $0,1$, es decir, $\rho'(x,y)=\rho(f(x),f(y))$donde $$ f(t):= \begin{cases} 1 & t=0\\ 0 & t=1\\ t & \text{otherwise} \end{casos} $$ Claramente $(X,\rho)$ e $(X,\rho')$ son compactos. Deje $d_{odd}=\rho$ e $d_{even}=\rho'$. A continuación, la secuencia $x_n=1/n$ es de Cauchy pero no convergen en $d$. $\Rightarrow\Leftarrow$

Sin embargo, si $X$ es $d$-completa (por ejemplo, si $d_k$ son todos topológicamente equivalente), luego el resultado se mantiene, ya que

Reclamo: Cada secuencia tiene un $d$-Cauchy larga.

Esencia de la Prueba: Imponer una restricción sobre cómo rápidamente larga converge en cada una de las $d_k$ y pasar a la diagonal larga. Por ejemplo, $d_k(x_{n_k(m)},x_{n_k(m')})<2^{-\min(m,m')}$, lo que implica una similar obligado para $d$ cuando se pasa a la diagonal larga.

Answer 2

Voy a suponer que $(X,d)$ es completa, porque de lo contrario el resultado es false. Supongamos $(x_n)$ es una secuencia en $(X,d).$ a Continuación, hay una larga de $(x_n)$, muy bien escrito $(x_{1m})$, de tal manera que $x_{1m}\to x_1\in (X,d_1).$ Hay ahora una larga $(x_{2m})$, $(x_{1m})$ tal que $(x_{2m})\to x_2\in (X,d_2)$ y, por supuesto, $(x_{2m})\to x_1\in (X,d_1)$ porque es una larga de $(x_{1m}).$

Continuando de esta manera, se obtiene una matriz de $(x_{nm})$ con las siguientes propiedades:

$1).\ (x_{nm})\ \text {is a subsequence of}\ (x_{n'm}) \text{ whenever}\ n>n'$

$2).\ (x_{jm})\to x_j\in (X_j,d_j)\ \text{for all } 1\le j\le n$

Considere la posibilidad de la diagonal de la matriz, yo.e $(x_{nn})$ y deje $m\in \mathbb N.$ Entonces, si $n\ge m$, la secuencia de $(x_{nn})$ es un subsequence de la secuencia de $(x_{mm},x_{m(m+1)},x_{m(m+2)},\cdots),\ $ que es una cola de la secuencia de $(x_{mk})$ y así converge a $x_m\in (X_m,d_m).$

Ahora consideremos $d(x_{nn},x_{mm})=\sum_{k\geq 0}2^{-k}d_k(x_{nn},x_{mm}).$ Desde $d_k<1$ para todos los $k$, se puede elegir $N$ lo suficientemente grande, así que para $\epsilon>0,$

$3). d(x_{nn},x_{mm})\le \sum^N_{k=0}2^{-k}d_k(x_{nn},x_{mm})+\frac{\epsilon }{2}.$

Para cada una de las $0\le k\le N$ hay un $N_k$ que si $n,m>N_k,$ entonces $d_k(x_{nn},x_{mm})<\frac{\epsilon }{2N}$ así que basta con retirar $N>\max {N_k}$ a ver que si $n,m>N$ luego

$4). \sum^N_{k=0}2^{-k}d_k(x_{nn},x_{mm})<N\cdot \frac{\epsilon }{2N}=\frac{\epsilon }{2}.$

La combinación de $3).$ e $4).$, ahora tenemos que $(x_{nn})$ es de Cauchy y por lo $x_{nn}\to x\in (X,d).$