Demostrando que $GF(p^n)$ contiene un único subcampo isomorfo a $GF(p^m)$ si y sólo si $m$ es un divisor de $n$ .

Question

Busco demostrar que $GF(p^n)$ contiene un único subcampo isomorfo a $GF(p^m)$ si y sólo si $m$ es un divisor de $n$ . En el artículo de Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_field#Existence_and_uniqueness

Dicen que esta afirmación ha sido probada por E. H. Moore en 1893.

¿Cómo puedo demostrar el teorema? Sé que primero tengo que generar un subconjunto, demostrar que es un subcampo, y luego suponer que son dos y demostrar que es único.

Pero, ¿cómo generarlo en primer lugar? Consideremos el conjunto de polinomios de la forma $x^{p^m}-x=0$ ? ¿Hay alguna manera de demostrar que es un subcampo sin comprobar todos los axiomas?

Answer 1

Obsérvese que los ceros de $x^{p^n}-x$ son exactamente los elementos de un campo finito con $p^n$ elementos. Como los campos de división están determinados de forma única hasta el isomorfismo, podemos escribir $GF(p^n)$ .

En primer lugar, si $m$ divide $n$ entonces $p^m-1$ divide $p^n-1$ y además $x^{p^n-1}-1$ divide $x^{p^n-1}-1$ . Así, $x^{p^m}-x$ divide $x^{p^n}-x$ . Por lo tanto, $GF(p^m)$ es un subcampo de $GF(p^n)$ .

Por el contrario, si $GF(p^m)$ es un subcampo de $GF(p^n)$ entonces $GF(p^n)$ es un espacio vectorial sobre $GF(p^m)$ . Así, $p^n = (p^m)^k$ para algunos $k\geq 1$ . Por lo tanto, $m$ es un divisor de $n$ .

Comentario añadido: Supongamos que $m$ divide $n$ con $n=km$ . Entonces $\frac{p^n-1}{p^m-1}= \frac{(p^m)^k-1}{p^m-1} = (p^m)^{k-1} + (p^m)^{k-2} +\ldots+p^m+1$ .

Answer 2

Utiliza la correspondencia de Galois. $GF(p^n)$ es una extensión de Galois de $GF(p)$ que tiene grupo de Galois cíclico.

Los campos de extensión (intermedios) corresponden a subgrupos (del grupo de Galois). Tenemos un subgrupo de orden $m\iff m\mid n\iff$ tenemos un campo de extensión de grado $m$ .