Integral definida de una suma infinita

Question

Se da eso $$ f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{4^n} $$

¿Cómo uno va sobre el cálculo de $$ \int_0^\pi f(x)\ dx $$

EDITAR:

Yo era capaz de calcular la integral de la $ \sin(nx) $ parte el uso de $u$ de sustitución. Sin embargo, me falta el conocimiento necesario para combinar una integral y una infinita suma como esta es la primera vez que hago este tipo de pregunta.

Actualmente estoy estudiando en el lugar número 11 en la India bajo la CBSE plan de estudios. Esta pregunta apareció en uno de FIITJEE pruebas internas y estoy tratando de conseguir una explicación para ello.

Me gustaría mencionar que sólo tiene conocimientos básicos de integración y diferenciación, como se enseña en mi coaching center y el conocimiento del grado 11 NCERT de matemáticas.

Answer 1

Desde que la serie converge uniformemente, podemos integrar plazo sabio. El resultado es

\begin{align*} \int_{0}^{\pi} f(x) \, dx &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4^n} \left[ -\frac{\cos (nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 - (-1)^n}{n \cdot4^n}. \end{align*}

Ahora con la expansión de Taylor $\log(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n$, podemos simplificar el anterior de la serie como

$$ = - \log\left(1 - \tfrac{1}{4}\right) + \log\left(1 + \tfrac{1}{4}\right) = \log \left( \tfrac{5}{3} \right). $$

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Alternativamente, asumiendo los conocimientos básicos sobre análisis complejo,

\begin{align*} \int_{0}^{\pi} f(x) \, dx &= \operatorname{Im} \left( \int_{0}^{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{e^{ix}}{4} \right)^n \, dx \right) = \operatorname{Im} \left( \int_{0}^{\pi} \frac{e^{ix}}{4 - e^{ix}} \, dx \right) \\ (z=e^{ix}) \quad &= \operatorname{Im} \left( \int_{1}^{-1} \frac{1}{i(4-z)} \, dz \right) = \operatorname{Im} \left[ i \log(4-z) \right]_{1}^{-1} \\ &= \log 5 - \log 3 = \log (5/3). \end{align*}

Esto proporciona una explicación natural de por qué logaritmo aparece en la respuesta final.

Answer 2

Un enfoque alternativo: $$ f(x)=\text{Im}\sum_{n\geq 1}\frac{e^{inx}}{4^n} = \text{Im}\left(\frac{e^{ix}}{4-e^{ix}}\right) = \text{Im}\left(\frac{e^{ix}(4-e^{-ix})}{17-8\cos x}\right)=\frac{4\sin x}{17-8\cos x}$ $ implica: $$ \int_{0}^{\pi}f(x)\,dx=\left[\tfrac{1}{2}\,\log(17-8\cos x)\right]_{0}^{\pi}=\log\sqrt{\frac{17+8}{17-8}}=\color{red}{\log\tfrac{5}{3}}. $ $