Encontrar todos los valores positivos de integrados $x$ $\prod_{m=0}^{1008} (x-{2m+1 \over 2})^{2m+1} \lt 0$

Question

Últimamente, he estado tomando múltiples clases en esos problemas de matemáticas. Así que mientras yo estaba resolviendo algunos problemas de matemáticas, vino sobre esta cuestión. La pregunta originalmente dice: cuántas soluciones del número entero positivo tiene la siguiente desigualdad: <span class="math-container">$$\left(x-{1\over 2}\right)^1\left(x-{3\over 2}\right)^3\cdots\left(x-{2017\over 2}\right)^{2017} \lt 0.$$ I managed to change to: <span class="math-container">$% $ $\prod_{m=0}^{1008} \left(x-{2m+1 \over 2}\right)^{2m+1} \lt 0.$</span> he estado tratando tan duro simplificar más para obtener una solución pero, y yo esperaba si podría recibir alguna ayuda en este caso. Gracias de todos modos.</span>

Answer 1

Sugerencia :

La desigualdad es equivalente a $$\left(x-{1\over 2}\right)\left(x-{3\over 2}\right)...\left(x-{2017\over 2}\right)\lt 0\tag1$$ (por qué?)

Deje $f(x)$ ser la LHS de $(1)$, y considere la gráfica de $y=f(x)$. El grado de $y=f(x)$ es $\frac{2017+1}{2}=1009$ lo cual es extraño.

Así, entero positivo soluciones son

$2,4,\cdots, 1008$.

Answer 2

Esto responde a la versión original de la pregunta.

Sugerencia: $$\deg\left(\prod_{m=0}^{1008} \Big(x-{2m+1 \over 2}\Big)^{2m+1}\right) = \sum_{m=0}^{1008} (2m + 1) \equiv \sum_{m=0}^{1008} 1 \equiv 1\pmod2,$$ así que dado el polinomio tiene impar grado.

Desde un polinomio de extraño título de "explotar al infinito" (es decir, $p(x)\to-\infty$ como $x\to-\infty$), pero un polinomio sólo puede tener un número finito de raíces, será "eventualmente" negativo para suficientemente grande $-M$ ($M > 0$), por lo que la respuesta es infinitamente muchos.

Answer 3

<span class="math-container">$$\begin{align} f(x)&=\text{sgn}\prod{m=0}^{1008}\left(x-m-\frac12\right)^{2m+1} \ &=\text{sgn}\prod{m=0}^{1008}\left(x-m-\frac12\right)^{2m} \, \text{sgn}\prod{m=0}^{1008}\left(x-m-\frac12\right) \ &=\text{sgn}\prod{m=0}^{1008}\left(x-m-\frac12\right) \ &=\text{sgn}\prod{m=0}^{x-1}\left(x-m-\frac12\right) \, \text{sgn}\prod{m=x}^{1008}\left(x-m-\frac12\right) \ &=\text{sgn}\prod{m=x}^{1008}\left(x-m-\frac12\right) =\prod{m=x}^{1008}(-1)=\color{red}{(-1)^{1009-x}\space\colon\,x\in[0,1008]} \end {Alinee el} $$</span>