Integral de Lebesgue de la función cero

Question

Tal vez una pregunta tonta, pero puedo demostrar que el Lebesgue la integral de una función que es cero en todas partes es también cero.

Me he acercado esta con una "máquina estándar" tipo de prueba. Me puede mostrar fácilmente que (1) suponiendo que la función es una función característica, (2) con una simple función, y (3) que se extienden por la monotonía con la no-función negativa , pero me quedo atascado en (4) para cualquier función.

Vamos a asuume que $h$ es alguna función. Sé que, por definición, que $h=h^+-h^-$ y que el $\mu(h)=\mu(h^+) - \mu(h^-)$, donde $\mu(h)=\int h d\mu$ cierta medida $\mu$. Ahora tengo que $h=0$, lo que significa que $h^+=h^-$, lo que implica que las dos partes son igual a cero, puesto $max(f(x),0)=-min(f(x),0)$ sólo para $f(x)=0$. Ahora, ¿cómo puedo traducir eso a las integrales?

Answer 1

OK, aquí está la respuesta gracias a @Yanko con el hecho de que <span class="math-container">$h^+=h^-=0$</span>. Entonces, puesto que ya mostré en (3) de la máquina"estándar" que cuando una función no negativa es cero, su integral es cero, esto significa que los integrales de las dos funciones son cero, así <span class="math-container">$\mu(h)$</span> también es cero.