Probar: para todos $x \in (0, 1], 2^x+2^{ \frac {1}{x}} \leqslant 2^{x+ \frac {1}{x}}$

Question

Este problema es de mi profesor de matemáticas. Intenté usar Cálculo, la función derivada es como un agujero negro. Luego lo grafiqué con Mathematica. Como muestra la siguiente imagen, me quedé muy sorprendido. ¿Cómo se puede probar esta desigualdad? introduzca la descripción de la imagen aquí

Answer 1

Dejemos que $x=e^{a}$ y $\frac{1}{x}=e^{b}$ .

Así, $a+b=0$ y tenemos que demostrar que $$(2^x-1)\left(2^{\frac{1}{x}}-1\right)\geq1$$ o $$\ln\left(2^{e^a}-1\right)+\ln\left(2^{e^b}-1\right)\geq0,$$ que es sólo Jensen para $f(x)=\ln\left(2^{e^x}-1\right)$ .

Sí, es cierto, $$f''(x)=\frac{2^{e^x}e^x\ln2\left(2^{e^x}-e^x\ln2-1\right)}{\left(2^{e^x}-1\right)^2}>0$$ porque si $e^x\ln2=t$ puis $t>0$ y $$2^{e^x}-e^x\ln2-1=e^t-1-t>0.$$