Deje $G = \mathbb{Z}_{10} \times \mathbb{Z}_{4}$ e $H = \langle(3, 2) \rangle$ e $K = \langle(4, 2)\rangle$. Encontrar todos los cosets a H y K.
Tenemos
\begin{equation*} \begin{split} G & = \mathbb{Z}_{10} \times \mathbb{Z}_{4} \\ & = \{0, 1, 2, \ldots, 9 \} \times \{0, 1, 2, 3 \} \\ & = \{(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), \ldots, (1, 3), (2, 0), \ldots, (2, 3), \ldots, (9, 0), \ldots, (9, 3) \} , \end{split} \end{ecuación*}
y
\begin{equation*} \begin{split} H & = \langle(3, 2)\rangle \\ & = \{k \cdot (3, 2) : k \in \mathbb{Z} \} \\ & = \{ (k \cdot 3, k \cdot 2) : k \in \mathbb{Z} \} \\ & = \{(0, 0), (3, 2), (6, 0), (9, 2), (2, 0), (5, 2), (8, 0), (1, 2), (4, 0), (7, 2) \} , \end{split} \end{ecuación*}
desde
\begin{equation*} \begin{split} 0 \cdot (3, 2) = (0, 0) \quad &\land \quad 1 \cdot (3, 2) = (3, 2) \quad \land \quad 2 \cdot (3, 2) = (6, 0) \\ 3 \cdot (3, 2) = (9, 2) \quad & \land \quad 4 \cdot (3, 2) = (2, 0) \quad \land \quad 5 \cdot (3, 2) = (5, 2) \\ 6 \cdot (3, 2) = (8, 0) \quad & \land \quad 7 \cdot (3, 2) = (1, 2) \quad \land \quad 8 \cdot (3, 2) = (4, 0) \\ 9 \cdot (3, 2) = (7, 2) \quad & \land \quad \ldots \end{split} \end{ecuación*}.
Ahora, con el fin de encontrar todos los cosets de H, ¿tengo que comprobar para cada $(a, b) \in G$ lo que establece recibo cuando compute $(a, b) + H = \{(a, b) + h : h \in H \}$? I. e. ¿tengo que calcular 40 diferentes conjuntos? Hay una menor fuerza bruta y tedioso método?
